TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC

Bài 1. (Chọn đội tuyển trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh 2015)
Xác định tất cả các cặp số nguyên tố $(p;q)$ sao cho $$p^{q+1}+q^{p+1}$$ là số chính phương.

Bài 2. (Olympic Chuyên KHTN 2014)
Tìm tất cả các bộ ba số $(x,n,p)$ với $x,n$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn
$$x^{3}+2x=3(p^{n}-1)$$
Bài 3. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014)
Cho hai số nguyên dương $a,b$ và số nguyên tố  $p$ thỏa $a^{2}+b^{2}$ chia hết cho $p$. Biết rằng $p$

bằng tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng $\frac{a^{2}+b^{2}}{p}$ bằng tổng của hai số chính

phương.


Bài 4. (Chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015)
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}z^{2}$$
Bài 5. ( Đề chính thức Olympic 30/4 lớp 10 năm 2013)

Tìm tất cả các số nguyên dương $k$  sao cho phương trình $$x^{2}+y^{2}+x+y=kxy\;\;(*)$$  có nghiệm nguyên dương.

Bài 6. (IMO 1988)

Cho $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\left.\begin{matrix}ab+1 \end{matrix}\right| a^{2}+b^{2}$. Chứng minh rằng $$k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}\in Z$$ là số chính phương.

Bổ đề số nguyên tố dạng $4k+3$ (bài 7-12)

Bài 7. (Đề thi học sinh giỏi Đồng Tháp 2013)

Giải phương trình nghiệm nguyên $$\left ( x+y \right )^{2}+2=2x++2013y$$

Bài 8. (Phương trình Euler)

Chứng minh rằng phương trình $$4xy-x-y=z^{2}$$ không có nghiệm nguyên dương.

Bài 9. (Phương trình Lebesgue)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $$x^{2}-y^{3}=7$$

Bài 10. (Đề thi học sinh giỏi Hà Tĩnh 2013)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố  $p$ thì $$p^{3}+\frac{p-1}{2}$$ không là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Bài 11. Cho dãy số $\left ( u_{n} \right )$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}u_{1}=2013\\ u_{n+1}=u_{n}^{3}-4u_{n}^{2}+5u_{n},\;\forall n\in N^{*}\end{matrix}\right.$$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau  $p\equiv 3\left ( mod\;4 \right )$ và $p$ là  

ước của $u_{2014}+2009$

Bài 12. (Chọn đội tuyển USA Mathematical Olympiad)

Tìm số nguyên dương $n$ để  $n^{7}+7$ là số chính phương.

Bài 13. (THTT số $448$)

Gọi $\begin{bmatrix}x \end{bmatrix}$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, $\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}=x-\begin{bmatrix}x \end{bmatrix}$ là phần lẻ của $x$.

Hãy tìm $$\begin{Bmatrix}\frac{p^{2012}+q^{2016}}{120}\end{Bmatrix}$$ biết rằng $p,q$ là các số nguyên tố lớn hơn $5$

Bài 14. (Diễn đàn Toán học-VMF)

Cho $q>3$ là số nguyên tố. Gọi $p$ là ước số nguyên tố lớn nhất của $(q-1)^y+1$ và  $q$ là ước

số nguyên tố nhỏ nhất của $y$. Chứng minh rằng $p\geq q+2$.

Bài 15. (Diễn đàn Toán học-VMF)
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố lẻ $(p,q)$ sao cho $q\equiv 3(mod\:8)$ và $\frac{q^{p-1}-1}{p}$ là số chính phương.

Bài 16. (Chọn đội tuyển VMO Quảng Nam 2017)

Cho số nguyên tố $p$  và các số nguyên dương $a,b,c$  phân biệt nhỏ hơn $p$.  Chứng minh rằng

nếu $a^3\equiv b^3\equiv c^3(mod\:p)$ thì $\left.\begin{matrix}
a+b+c
\end{matrix}\right|a^2+b^2+c^2$

Bài 17. (Chọn đội tuyển VMO Quảng Trị 2017)

Cho $p$ là số nguyên tố khác $2$ và $a,b$ là hai số tự nhiên lẻ sao cho $\left.\begin{matrix} p \end{matrix}\right|a+b$ và $\left.\begin{matrix}p-1 \end{matrix}\right|a-b$.

Chứng minh rằng  $\left.\begin{matrix}p \end{matrix}\right|a^b+b^b$

Bài 18. (Chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2017)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $$x^{19}-1=(x-1)(y^{12}-1)$$
Bài 19. (Diễn đàn Toán học-VMF)

Một số nguyên dương được gọi là 'tốt' nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là số nguyên tố và $n$  là số nguyên dương.

Tìm tất cả các số nguyên dương 'tốt' mà mọi ước nguyên dương của nó cũng 'tốt'.

Bài 20. 

Cho $a,b$ là hai số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố dạng $3k+2$ thỏa mãn $$\left.\begin{matrix}p\end{matrix}\right|a^2+ab+b^2$$Chứng minh rằng $a,b$ chia hết cho $p$

Bài 21. (Diễn đàn Toán học-VMF)

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $a> 2$ thì tồn tại vô số nguyên dương $n$ thỏa mãn $$\left.\begin{matrix}n\end{matrix}\right|a^n-1$$