Bài số học chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015)
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}z^{2}$$
Lời giải.
Nếu $x,y,z$ cùng lẻ thì $x^{2},y^{2},z^{2}\equiv 1\left ( mod\;4 \right )\Rightarrow \left ( xyz \right )^{2}\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}\equiv 3\left ( mod\;4 \right )$

Điều này không thể xảy ra vì số chính phương chia cho  $4$  dư  $0$  hoặc  $1$

Do đó tồn tại ít nhất $1$ trong  $3$  số $x,y,z$ là  số chẵn.

Do vai trò $x,y,z$ như nhau nên giả sử $z\,\vdots \,2\Rightarrow z=2z_{1}\,\left ( z_{1}\in Z^{+} \right )$. Suy ra $$x^{2}+y^{2}+4z_{1}^{2}=4x^{2}y^{2}z_{1}^{2}\Rightarrow x^{2}+y^{2}\,\vdots \,4$$
Nếu $x,y$ lẻ thì $x^{2},y^{2}\equiv 1\left ( mod\;4 \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\equiv 2\left ( mod\;4 \right )$

Điều này vô lý vì $x^{2}+y^{2}\,\vdots \,4$. Do đó tồn tại $1$ trong $2$ số $x,y$ là số chẵn.

Không mất tính tổng quát, giả sử  $y\,\vdots \,2\Rightarrow x\,\vdots \,2\Rightarrow x=2x_{1},y=2y_{1}\left ( x_{1},y_{1} \in Z^{+}\right )$

Khi đó phương trình trở thành $$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=16x_{1}^{2}y_{1}^{2}z_{1}^{2}$$
Tương tự ta được $$x_{1}=2x_{2},y_{1}=2y_{1},z_{1}=2z_{2}\left ( x_{1},y_{1},z_{1}\in Z^{+} \right )$$
Tiếp tục như vậy ra suy ra $$x=2^{k}x_{k},y=2^{k}y_{k},z=2^{k}z_{k}\Rightarrow x,y,z\,\vdots\, 2^{k}$$
Điều này chỉ đúng khi $x=y=z=0$. Do đó phương trình không có nghiệm nguyên dương.