Bài hệ phương trình chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015)
Giải hệ phương trình sau: $$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{y^{2}+xy+2x^{2}}=2( x+y)\;\;(1)\\ \left ( 8y-6 \right )\sqrt{x-1}=\left ( 2+\sqrt{x-2} \right )\left ( y+4\sqrt{y-2}+3 \right )\;(2)
\end{matrix}\right.\left ( x,y \in R\right )$$
Lời giải.
Điều kiện xác định $x\geq 2,y\geq 1$

Theo bất đẳng thức Mincopxki ta được $$\sqrt{\left ( x+\frac{y}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{y\sqrt{7}}{2} \right )^{2}}+\sqrt{\left ( y+\frac{x}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{x\sqrt{7}}{2} \right )^{2}}\geq \sqrt{\frac{9}{4}\left ( x+y \right )^{2}+\frac{7}{4}\left ( x+y \right )^{2}}$$
$$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{y^{2}+xy+2x^{2}}\geq 2\left ( x+y \right )$$
Kết hợp với $(1)$ ta suy ra $x=y$. Thế vào $(2)$ ta được phương trình $$\left ( 8x-6 \right )\sqrt{x-1}=\left ( 2+\sqrt{x-2} \right )\left ( x+4\sqrt{x-2} +3 \right)$$
Đặt $\sqrt{x-1}=a$ và $\sqrt{x-2}=b\,\left ( a,b\geq 0 \right )$. Suy ra hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}
a^{2}-b^{2}=1\;\;(*)\\ \left ( 8a^{2}+2 \right )a=\left ( b+2 \right )\left ( b^{2}+4b+3 \right )\;\;(**)

\end{matrix}\right.$$
Từ $(**)$ suy ra $$8b^{3}+2b=b^{3}+6b^{2}+13b+10\Leftrightarrow \left ( 2a \right )^{3}+\left ( 2a \right )=\left ( b+2 \right )^{3}+\left ( b+2 \right )$$
Xét hàm số $f(t)=t^{3}+t$ với $t\in R$. Khi đó $f'(t)=3t^{2}+1> 0$

Do đó $f(t)$ là hàm số đồng biến. Mà $f(2a)=f(b+2)$ nên $2a=b+2\Rightarrow b=2a-2$

Thế vào $(*)$ ta được $$a^{2}-\left ( 2a-2 \right )^{2}=1\Rightarrow 3a^{2}-8a+5=0\Rightarrow \left ( a-1 \right )\left ( 3a-5 \right )=0$$$$\Rightarrow \left ( a-1 \right )\left ( 3a-5 \right )=0\Rightarrow a=\begin{Bmatrix}
1;\frac{5}{3}
\end{Bmatrix}\Rightarrow x=\begin{Bmatrix}
2;\frac{34}{9}
\end{Bmatrix}$$
Thử lại thấy thỏa. Vậy $$\left ( x,y \right )=\begin{Bmatrix}
\left (2,2  \right );\left ( \frac{34}{9},\frac{34}{9} \right )
\end{Bmatrix}$$