Bài bất đẳng thức chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015)
Cho $2014$ số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{2014}$  thỏa mãn  $a_{1}+a_{2}+...+a_{2014}=2014$.

Chứng minh rằng $$P=\frac{a_{1}^{20}}{a_{2}^{11}}+\frac{a_{2}^{20}}{a_{3}^{11}}+...+\frac{a_{2013}^{20}}{a_{2014}^{11}}+\frac{a_{2014}^{20}}{a_{1}^{11}}\geq 2014$$
Lời giải.
Theo bất đẳng thức AM-GM cho $20$ số dương ta được $$\frac{a_{1}^{20}}{a_{2}^{11}}+11a_{2}+8\geq 20\sqrt[20]{\frac{a_{1}^{20}}{a_{2}^{11}}.a_{2}^{11}.1^{8}}=20a_{1}$$
Tương tự ta có $$\frac{a_{2}^{20}}{a_{3}^{11}}+11a_{2}+8\geq 20\sqrt[20]{\frac{a_{2}^{20}}{a_{3}^{11}}.a_{3}^{11}.1^{8}}=20a_{2}$$$$.......................................$$$$\frac{a_{2014}^{20}}{a_{1}^{11}}+11a_{1}+8\geq 20\sqrt[20]{\frac{a_{2014}^{20}}{a_{1}^{11}}.a_{1}^{11}.1^{8}}=20a_{2014}$$
Từ đây suy ra $$P+11\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{2014} \right )+8.2014\geq 20\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{2014} \right )$$ Theo giả thiết ta lại có $a_{1},a_{2},...,a_{2014}$  thỏa mãn  $a_{1}+a_{2}+...+a_{2014}=2014$

Dẫn đến $P\geq 20.2014-11.2014-8.2014=2014$

Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{2014}=1$