Bài dãy số chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015)
Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ với $n\in N^{*}$ được xác định bởi $$\left\{\begin{matrix}
x_{0}>0\\ x_{n}=\frac{9}{10}u_{n-1}+\frac{1007}{5x_{n-1}^{9}},\;\forall n\geq 1

\end{matrix}\right.$$
Chứng minh dãy số $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn và tìm giới hạn này.

Lời giải.
Trước hết chứng minh $x_{n}>0$ với $\forall n\in N$

Với $n=0$ ta được $x_{0}>0$

Giả sử $x_{i}>0,\;\forall i=\overline{0,n}$. Ta cần chứng minh $x_{n+1}>0$

Thật vậy $$x_{n+1}=\frac{9}{10}x_{n}+\frac{1007}{5x_{n}^{9}}>0$$ Do đó $x_{n}>0,\forall n\in N$

Theo bất đẳng thức AM-GM ta được $$x_{n+1}=\frac{x_{n}}{10}+\frac{x_{n}}{10}+...+\frac{x_{n}}{10}+\frac{1007}{5x_{n}^{9}}\geq 10\sqrt[10]{\frac{1}{10^{9}}.\frac{1007}{5}}=\sqrt[10]{2014}$$
Lại có $$x_{n+1}-x_{n}=\frac{9}{10}x_{n}+\frac{1007}{5x_{n}^{9}}-x_{n}=\frac{1007}{5x_{n}^{9}}-\frac{1}{10}x_{n}=\frac{2014-x_{n}^{10}}{10x_{n}^{9}}\leq 0\Rightarrow x_{n+1}\leq x_{n}$$
Vậy dãy số $(x_{n})$ là dãy giảm mà bị chặn dưới bởi $\sqrt[10]{2014}$ nên dãy $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn.

Đặt $lim\;x_{n}=L$. Chuyển qua giới hạn ta được $$L=\frac{9}{10}L+\frac{1007}{5L^{9}}\Rightarrow \frac{L}{10}=\frac{1007}{5L^{9}}\Rightarrow L^{10}=2014\Rightarrow L=\sqrt[10]{2014}$$
Vậy dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và giới hạn đó là $\sqrt[10]{2014}$