Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình $$x^{2}+y^{2}+x+y=kxy\;\;(*)$$ có nghiệm nguyên dương.
Lời giải.
Cố định $k$. Xét tập hợp sau $$S=\begin{Bmatrix}
\left.\begin{matrix}
\left ( x,y \right )\in Z^{+}\times Z^{+}
\end{matrix}\right|k=\frac{x^{2}+y^{2}+x+y}{xy}
\end{Bmatrix}$$ Do $x,y$ là các số nguyên dương nên tồn tại $\left ( x_{0},y_{0} \right )\in S$ mà $x_{0}+y_{0}$ đạt giá trị nhỏ nhất
và giả sử $x_{0}\geq y_{0}$
Xét phương trình bậc hai ẩn $X$ $$X^{2}-\left ( ky_{0}-1 \right )X+y_{0}^{2}+y_{0}=0\;(**)$$
Phương trình $(**)$ có một nghiệm là $x_{0}$ và gọi nghiệm còn lại là $a$. Theo định lý Viete ta có $$\left\{\begin{matrix}
a+x_{0}=ky_{0}-1\;\;(1)\\ax_{0}=y_{0}^{2}+y_{0}
\;\;(2)
\end{matrix}\right.$$
Từ $(1)$ suy ra $a\in Z$, từ $(2)$ suy ra $a>0$. Do đó $a\in Z^{+}$ nên $\left ( a,y_{0} \right )\in S$
Dẫn đến $a+y_{0}\geq x_{0}+y_{0}\Rightarrow a\geq x_{0}$. Kết hợp với $(1)$ ta có $$2x_{0}\leq a+x_{0}=ky_{0}-1< ky_{0}\Rightarrow \frac{x_{0}}{y_{0}}< \frac{k}{2}$$
Nếu $y_{0}=1\Rightarrow x_{0}=1\Rightarrow k=4$
Nếu $y_{0}>1$. Ta có $$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+x_{0}+y_{0}=kx_{0}y_{0}\Rightarrow \frac{x_{0}}{y_{0}}+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{y_{0}}=k\Rightarrow k< \frac{k}{2}+1+1+\frac{1}{2}\Rightarrow k\leq 4$$Lại có $$kx_{0}y_{0}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+x_{0}+y_{0}> 2x_{0}y_{0}\Rightarrow k\geq 3$$Dẫn đến $k=3$ hoặc $k=4$
Nếu $k=3$ thì tồn tại $x=y=2$ là nghiệm của phương trình $(*)$.
Nếu $k=4$ thì tồn tại $x=y=1$ là nghiệm của phương trình $(*)$.
Vậy $k=3$ hoặc $k=4$.
Bài toán trên đã từng xuất hiện trong đề chọn đội tuyển VMO Phổ thông Năng khiếu 2010 và
phương pháp sử dụng chính trong bài là bước nhảy Viete (Viete Jumping)
\left.\begin{matrix}
\left ( x,y \right )\in Z^{+}\times Z^{+}
\end{matrix}\right|k=\frac{x^{2}+y^{2}+x+y}{xy}
\end{Bmatrix}$$ Do $x,y$ là các số nguyên dương nên tồn tại $\left ( x_{0},y_{0} \right )\in S$ mà $x_{0}+y_{0}$ đạt giá trị nhỏ nhất
và giả sử $x_{0}\geq y_{0}$
Xét phương trình bậc hai ẩn $X$ $$X^{2}-\left ( ky_{0}-1 \right )X+y_{0}^{2}+y_{0}=0\;(**)$$
Phương trình $(**)$ có một nghiệm là $x_{0}$ và gọi nghiệm còn lại là $a$. Theo định lý Viete ta có $$\left\{\begin{matrix}
a+x_{0}=ky_{0}-1\;\;(1)\\ax_{0}=y_{0}^{2}+y_{0}
\;\;(2)
\end{matrix}\right.$$
Từ $(1)$ suy ra $a\in Z$, từ $(2)$ suy ra $a>0$. Do đó $a\in Z^{+}$ nên $\left ( a,y_{0} \right )\in S$
Dẫn đến $a+y_{0}\geq x_{0}+y_{0}\Rightarrow a\geq x_{0}$. Kết hợp với $(1)$ ta có $$2x_{0}\leq a+x_{0}=ky_{0}-1< ky_{0}\Rightarrow \frac{x_{0}}{y_{0}}< \frac{k}{2}$$
Nếu $y_{0}=1\Rightarrow x_{0}=1\Rightarrow k=4$
Nếu $y_{0}>1$. Ta có $$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+x_{0}+y_{0}=kx_{0}y_{0}\Rightarrow \frac{x_{0}}{y_{0}}+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{y_{0}}=k\Rightarrow k< \frac{k}{2}+1+1+\frac{1}{2}\Rightarrow k\leq 4$$Lại có $$kx_{0}y_{0}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+x_{0}+y_{0}> 2x_{0}y_{0}\Rightarrow k\geq 3$$Dẫn đến $k=3$ hoặc $k=4$
Nếu $k=3$ thì tồn tại $x=y=2$ là nghiệm của phương trình $(*)$.
Nếu $k=4$ thì tồn tại $x=y=1$ là nghiệm của phương trình $(*)$.
Vậy $k=3$ hoặc $k=4$.
Bài toán trên đã từng xuất hiện trong đề chọn đội tuyển VMO Phổ thông Năng khiếu 2010 và
phương pháp sử dụng chính trong bài là bước nhảy Viete (Viete Jumping)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét