Bài số học thi International Mathematical Olympiad

Bài toán.  (IMO 1988)
Cho $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\left.\begin{matrix}
ab+1
\end{matrix}\right|a^{2}+b^{2}$. Chứng minh rằng $$k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}\in Z$$ là số chính phương.

Lời giải.
Cố định $k$. Xét tập hợp sau $$S=\begin{Bmatrix}
\left.\begin{matrix}
\left ( a,b \right )\in Z^{*}\times Z^{+}
\end{matrix}\right|k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}
\end{Bmatrix}$$
Do $a, b$ là các số nguyên dương nên tồn tại $\left ( a_{0}, b_{0} \right ) \in S$ mà $a_{0}+b_{0}$ đạt giá trị nhỏ nhất

và giả sử $a_{0}\geq b_{0}$

Xét phương trình bậc hai ẩn $X$ $$X^{2}-kb_{0}X+b_{0}^{2}-k=0\;(1)$$
Dễ thấy $(1)$ có một nghiệm là $a_{0}$ và gọi nghiệm còn lại là $x$. Theo định lý Viete ta có $$\left\{\begin{matrix}
a_{0}+x=kb_{0}\;(*)\\ a_{0}.x
=b_{0}^{2}-k\;(**)
\end{matrix}\right.$$
Nếu $x< 0$ thì suy ra $x^{2}-kb_{0}.x+b_{0}^{2}-k=x^{2}+b_{0}^{2}-k\left ( b_{0}x+1 \right )\geq x_{2}+b_{0}^{2}>0$

Điều này vô lý. Do đó $x\geq 0$

Nếu $x>0$. Khi đó $\left ( x,b_{0} \right )\in S\Rightarrow x+b_{0}\geq a_{0}+b_{0}\Rightarrow x\geq a_{0}$. Kết hợp $(*)$ ta được $$2a_{0}\leq x+a_{0}=nb_{0}\Rightarrow \frac{a_{0}}{b_{0}}\leq \frac{k}{2}$$Lại có $$k=\frac{a_{0}^{2}+b_{0}^{2}}{a_{0}b_{0}+1}< \frac{a_{0}}{b_{0}}+\frac{b_{0}}{a_{0}}\leq \frac{k}{2}+1\Rightarrow k=1$$
Nếu $x=0\Rightarrow b_{0}^{2}-k=0\Rightarrow k=b_{0}^{2}$

Vậy $k$ là số chính phương.