Bài toán.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $P,Q$ là điểm đối xứng với $H$ qua $AB,AC$.

$PQ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $F,E$. Chứng minh rằng $BE,CF$ là đường cao của $\Delta ABC$.

Lời giải.

Ta có: $AP=AD=AQ\Rightarrow \widehat{APQ}=\widehat{AQP}$

Mà $D,P$ đối xứng nhau qua $AB$ nên $\widehat{APQ}=\widehat{ADF}$. Suy ra $\widehat{ADF}=\widehat{AQP}$

Khi đó tứ giác $AQDF$ nội tiếp. Dẫn đến $\widehat{BAD}=\widehat{FQD}=\widehat{EDQ}$

Lại có $\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=90^{0}$ và $\widehat{EDQ}+\widehat{DEC}=90^{0}$

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{DEC}$. Suy ra tứ giác $ABDE$ nội tiếp, khi đó $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^{0}$

Vậy $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$. Tương tự $CF$ cũng là đường cao tam giác $ABC$