Bài hệ phương trình chọn đội tuyển VMO Thái Bình 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Thái Bình 2015)
Giải hệ phương trình sau: $$\left\{\begin{matrix}
 x+y-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\;\;(1)\\
2014^{x+y-1}-3x+y+1=\sqrt{4x^2-3x-y+2}\;\;(2)
\end{matrix}\right.$$
Lời giải.
Điều kiện xác định $xy;x+y-1;4x^2-3x-y+2\geq 0$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được $$\left ( \sqrt{xy}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}} \right )^{2}\leq 2\left ( xy+\frac{x^{2}+y^{2}}{2} \right )=\left ( x+y \right )^{2}$$$$\Rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\leq x+y$$
Mà theo $(1)$ ta có $$x+y-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\Leftrightarrow x+y=\sqrt{xy}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$$ Suy ra đẳng thức xảy ra khi $x=y\geq 0$

Thế vào $(2)$ ta được $$2014^{2x-1}-\left ( 2x-1 \right )=\sqrt{4x^{2}-4x+2}\;\;(3)$$
Đặt $2x-1=t\,\left ( t\geq 0 \right )$. Khi đó $(3)$ trở thành $$2014^{t}-t=\sqrt{t^{2}+1}\Leftrightarrow 2014^{t}-t-\sqrt{t^{2}+1}=0\;\;(*)$$
Nếu $t\geq 1$ thì theo bất đẳng thức Bernoulli ta được $2014^{t}\geq 1+2013t$. Khi đó $$t+\sqrt{t^{2}+1}\geq 1+2013t\Leftrightarrow t^{2}+1\geq \left ( 1+2012t \right )^{2}\Leftrightarrow \left ( 2012^{2}-1 \right )t^{2}+4024t\geq 0$$ Điều này không thể xảy ra nên $0\leq t< 1$

Xét hàm số $f\left ( t \right )=2014^{t}-t-\sqrt{t^{2}+1}$ với $t\in [0;1)$. Khi đó
$$f'\left ( t \right )=2014^{t}.ln2014-1-\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}\geqslant ln2014-1-\frac{t}{\sqrt{2t}}$$$$\Rightarrow f'\left ( t \right )\geq ln2014-1-\sqrt{\frac{t}{2}}> ln2014-1-\sqrt{\frac{1}{2}}>0$$
Do đó $f(t)$ là hàm số đồng biến. Mà $f(0)=0$ nên $t=0$ là nghiệm của phương trình $(*)$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left ( x;y \right )=\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )$