Bài phương trình chọn đội tuyển VMO Chuyên Đại học Vinh 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Chuyên Đại học Vinh 2015)
Giải phương trình $$\left ( x^{2}+x \right )^{2}+\left ( x-1 \right )^{2}=\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x-x^{3}}\;(*)$$
Lời giải.
Điều kiện xác định $x-x^{3}\geq 0$

Ta có: $$(*)\Leftrightarrow \left ( x^{2}+1 \right )^{2}-2\left ( x-x^{3} \right )=\left ( x^{2}+1 \right )\sqrt{x-x^{3}}$$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
x^{2}+1=a\;\left ( a\geq 1 \right )\\ \sqrt{x-x^{3}}=b\;\left ( b\geq 0 \right )

\end{matrix}\right.$. Phương trình trở thành

$$a^{2}-2b^{2}=ab\Leftrightarrow \left ( a-2b \right )\left ( a+b \right )=0\Leftrightarrow a=2b\Leftrightarrow x^{2}+1=\sqrt{x-x^{3}}$$
$$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+1 \right )^{2}=4\left ( x-x^{3} \right )\Leftrightarrow x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x+1=0\Leftrightarrow \left ( x^{2}+2x-1 \right )^{2}=0$$
$$\Leftrightarrow x^{2}+2x-1=0\Leftrightarrow x=\begin{Bmatrix}
\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}-1
\end{Bmatrix}$$
Thử lại thấy thỏa. Vậy $S=\begin{Bmatrix}
\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}-1
\end{Bmatrix}$