Bài phương trình chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2015)
Cho hai phương trình:  $x^{3}+2x^{2}+3x+4=0$  và  $x^{3}-8x^{2}+23x-26=0$. Chứng

minh rằng mỗi phương trình trên đều có đúng một nghiệm. Tìm tổng của hai nghiệm đó.

Lời giải.
Xét hàm số $f(t)=t^{3}+2t^{2}+3t+4$ với $\left ( t\in R \right )$. Khi đó $$f'\left ( t \right )=3t^{2}+4t+3=3\left ( t+\frac{2}{3} \right )^{2}+\frac{5}{3}>0$$ Do đó $f(t)$ là hàm đồng biến trên $R$ nên có nhiều nhất $1$ nghiệm

Mà $f(t)$ là hàm đa thức có bậc lẻ nên có nghiệm, vì vậy phương trình $$x^{3}+2x^{2}+3x+4=0\;(1)$$ có đúng $1$ nghiệm.

Tương tự phương trình  $x^{3}-8x^{2}+23x-26=0\;(2)$ có đúng $1$ nghiệm.

Gọi $x_{0},y_{0}$ lần lượt là nghiệm của phương trình $(1)$ và $(2)$. Khi đó

$$\left\{\begin{matrix}
x_{0}^{3}+2x_{0}^{2}+3x_{0}+4=0\\ y_{0}^{3}-8y_{0}^{2}+23y_{0}-26=0

\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{0}^{3}+2x_{0}^{2}+3x_{0}+4=0\\ \left ( 2-y_{0} \right )^{3}+2\left ( 2-y_{0} \right )^{2}+3\left ( 2-y_{0} \right )+4=0

\end{matrix}\right.$$
Lại có $f(t)=t^{3}+2t^{2}+3t+4$ là hàm đồng biến trên $ R$ nên $$x_{0}=2-y_{0}\Rightarrow x_{0}+y_{0}=2$$ Vậy tổng hai nghiệm là $2$