Bài phương trình chọn đội tuyển VMO Bắc Ninh 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Bắc Ninh 2015)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất $$\sqrt[4]{-x^{2}+4x+12}+2\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{3-x} \right )=m$$
Lời giải.
Dễ thấy điều kiện xác định là $1\leq x\leq 3$

Đặt $t=x-2,\;  ( \left | t \right |\leq 1)$. Khi đó phương trình trở thành$$\sqrt[4]{-t^{2}+16}+2\left ( \sqrt{t+1}+\sqrt{1-t} \right )=m\;(1)$$
Do đó bài toán trở thành tìm $m$ để $(1)$ có nghiệm duy nhất.

Nhận xét. Nếu $t$ là nghiệm của $(1)$ thì $-t$ cũng là nghiệm của $(1)$ (do $\left | t \right |\leq 1$)

Do phương trình $(1)$ có nghiệm duy nhất nên  $t=-t\Rightarrow t=0\Rightarrow m=6$

Với $m=6$ thì phương trình trở thành $$\sqrt[4]{-t^{2}+16}+2\left ( \sqrt{t+1}+\sqrt{1-t} \right )=6\;(*)$$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta được $$\sqrt[4]{\left ( -t^{2}+16 \right ).16.16.16}\leq \frac{-t^{2}+64}{4}\Rightarrow \sqrt[4]{ -t^{2}+16 }\leq \frac{-t^{2}+64}{32}
$$Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được $$\left ( \sqrt{t+1}+\sqrt{1-t} \right )^{2}\leq2(t+1+1-t)=4\Rightarrow \sqrt{t+1}+\sqrt{1-t} \leq 2$$
Suy ra $$6\leq \frac{-t^{2}+64}{32}+4\Rightarrow t=0$$
Thử lại thấy đúng. Do đó $m=1$