Một tính chất hay của bất đẳng thức

Bài toán.
Nếu các số thực $x,y,z$ thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xyz=4$ và $max\begin{Bmatrix}
\left | x \right |,\left | y \right |,\left | z \right |
\end{Bmatrix}> 2$ thì

tồn tại các số thực $a,b,c$ có tích bằng $1$ thỏa $x=a+\frac{1}{a},\,y=b+\frac{1}{b},\,z=c+\frac{1}{a}$

Lời giải.
Gọi $\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ là bộ nghiệm thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xyz=4$ $(1)$

Do vai trò $x,y,z$ như nhau nên giả sử $x_{0}=max\begin{Bmatrix}
\left | x_{0} \right |,\left | y_{0} \right |,\left | z_{0} \right |
\end{Bmatrix}\Rightarrow x_{0}> 2$

Xét phương trình bậc hai ẩn $z$ $$z^{2}-zx_{0}y_{0}+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-4=0$$ Khi đó $$\Delta =x_{0}^{2}y_{0}^{2}-4\left ( x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-4 \right )=\left ( x_{0}^{2}-4 \right )\left ( y_{0}^{2}-4 \right )\geqslant 0\Rightarrow \left | y_{0} \right |\geq 2$$ Tương tự $\left | z_{0} \right |\geq 2$

Do $\left | x_{0} \right |,\left | y_{0} \right |\geq 2$ nên tồn tại $a,b$ thỏa $x_{0}=x_{1}+\frac{1}{x_{1}}$ và $y_{0}=y_{1}+\frac{1}{y_{1}}$

Thế vào $(1)$ ta được $$z_{0}^{2}-\left ( x_{1}+\frac{1}{x_{1}} \right )\left ( y_{1}+\frac{1}{y_{1}} \right )z_{0}+x_{1}^{2}+\frac{1}{x_{1}^{2}}+y_{1}^{2}+\frac{1}{y_{1}^{2}}=0$$$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
z_{0}-\left ( x_{1}y_{1}+\frac{1}{x_{1}y_{1}} \right )
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
z_{0}-\left ( \frac{x_{1}}{y_{1}}+\frac{y_{1}}{x_{1}} \right )
\end{bmatrix}=0$$
Nếu $z_{0}=x_{1}y_{1}+\frac{1}{x_{1}y_{1}}$ thì chọn $a=x_{1};\, b=y_{1};\, c=\frac{1}{x_{1}y_{1}}$

Nếu $z_{0}=\frac{x_{1}}{y_{1}}+\frac{y_{1}}{x_{1}}$ thì chọn $a=x_{1};\, b=\frac{1}{y_{1}};\,c=\frac{y_{1}}{x_{1}}$

Vậy suy ra điều phải chứng minh.