Bài toán. (Chọn đội tuyển trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh)
Xác định tất cả các cặp số nguyên tố $(p;q)$ sao cho $$p^{q+1}+q^{p+1}$$ là số chính phương.
Lời giải.
Nếu $p,q$ cùng chẵn thì $p=q=2$ (thỏa đề bài)
Đặt $$p^{q+1}+q^{p+1}=x^{2}$$ với $\left ( x\in N \right )$
Nếu $p,q$ cùng lẻ thì $$p^{q+1}\equiv q^{p+1}\equiv 1(mod \, 4)\Rightarrow x^{2}\equiv 2(mod\, 4)$$
Điều này mâu thuẫn vì số chính phương chia cho $4$ dư $0$ hoặc $1$
Nếu $p,q$ khác tính chẵn lẻ. Do vai trò $p,q$ như nhau nên giả sử $q$ chẵn và $p$ lẻ
Suy ra $q=2$ và $p=2k+1$
Ta lại có: $$p^{3}+2^{p+1}=x^{2}\Leftrightarrow p^{3}=x^{2}-2^{2k+2}\Leftrightarrow (x+2^{k+1})(x-2^{k+1})=p^{3}$$
Do $x+2^{k+1}> x-2^{k+1}$ nên ta xét hai trường hợp sau:
* Trường hợp 1. $x+2^{k+1}=p^{2}\Rightarrow x-2^{k+1}=p\Rightarrow p(p-1)=2^{k+2}$
Do $p$ lẻ nên $p=1$ và $p-1=2^{k+2}$ (vô lý)
* Trường hợp 2. $$x+2^{k+1}=p^{3}\Rightarrow x-2^{k+1}=1\Rightarrow p^{3}-1=2^{k+2}\Rightarrow (p-1)(p^{2}+p+1)=2^{k+2}$$
Do $p^{2}+p+1$ lẻ nên $p^{2}+p+1=1$ (vô lý)
Vậy $(p,q)=(2;2)$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét