Chủ Nhật, 21 tháng 9, 2014

Bài số học chọn đội tuyển Chuyên Lương Thế Vinh 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh)

Xác định tất cả các cặp số nguyên tố $(p;q)$ sao cho $$p^{q+1}+q^{p+1}$$ là số chính phương.

Lời giải.
Nếu $p,q$ cùng chẵn thì $p=q=2$ (thỏa đề bài)

Đặt $$p^{q+1}+q^{p+1}=x^{2}$$ với $\left ( x\in N \right )$

Nếu $p,q$ cùng lẻ thì $$p^{q+1}\equiv q^{p+1}\equiv 1(mod \, 4)\Rightarrow x^{2}\equiv 2(mod\, 4)$$
Điều này mâu thuẫn vì số chính phương chia cho $4$ dư $0$ hoặc $1$

Nếu $p,q$ khác tính chẵn lẻ. Do vai trò $p,q$ như nhau nên giả sử $q$ chẵn và $p$ lẻ

Suy ra $q=2$ và $p=2k+1$

Ta lại có: $$p^{3}+2^{p+1}=x^{2}\Leftrightarrow p^{3}=x^{2}-2^{2k+2}\Leftrightarrow (x+2^{k+1})(x-2^{k+1})=p^{3}$$
Do $x+2^{k+1}> x-2^{k+1}$ nên ta xét hai trường hợp sau:

* Trường hợp 1. $x+2^{k+1}=p^{2}\Rightarrow x-2^{k+1}=p\Rightarrow p(p-1)=2^{k+2}$

Do $p$ lẻ nên $p=1$ và $p-1=2^{k+2}$ (vô lý)

* Trường hợp 2. $$x+2^{k+1}=p^{3}\Rightarrow x-2^{k+1}=1\Rightarrow p^{3}-1=2^{k+2}\Rightarrow (p-1)(p^{2}+p+1)=2^{k+2}$$
Do $p^{2}+p+1$ lẻ nên $p^{2}+p+1=1$ (vô lý)


Vậy  $(p,q)=(2;2)$

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét