Bài số học thi Olympic Chuyên KHTN 2014

Bài toán. (Olympic Chuyên KHTN 2014)
Tìm tất cả các bộ ba số $(x,n,p)$ với $x,n$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn
$$x^{3}+2x=3(p^{n}-1)$$
Lời giải.
Theo giả thiết ta có $$x^{3}+2x=3(p^{n}-1)\Leftrightarrow x^{3}+2x+3=3p^{n}\Leftrightarrow (x+1)(x^{2}-x+3)=3p^{n}$$
Gọi $d=gcd(x+1;x^{2}-x+3)$. Khi đó ta có: $$\left\{\begin{matrix}
x+1\vdots d\\ x^{2}-x+3\vdots d

\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x+1\vdots d\\ (x+1)(x-2)+5\vdots d

\end{matrix}\right.\Rightarrow 5\vdots d\Rightarrow d=1;5$$
Nếu $p=3$ thì $$(x+1)(x^{2}-x+3)=3^{n+1}\Rightarrow x+1=1\Rightarrow x=0$$
Điều này vô lý do $x$ nguyên dương.

Nếu $p\neq 3$ thì xét hai khả năng sau:

* Khả năng 1. Nếu $d=1$ thì ta có hai trường hợp sau:

                    $\left\{\begin{matrix}
x+1=3\\ x^{2}-x+3=p^{n}

\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}
x+1=p^{n}\\ x^{2}-x+3=3

\end{matrix}\right.$

Giải ra ta được $(x,n,p)=(2,1,5);(1,1,2)$

* Khả năng 2. Nếu $d=5$ thì ta có $$5^{2}\left |  \right |(x+1)(x^{2}-x+3)\Rightarrow p=5,n=2\Rightarrow  (x+1)(x^{2}-x+3)=75\Rightarrow x=4$$

hoặc $$5^{3}\left |  \right |(x+1)(x^{2}-x+3)\Rightarrow p=5;n=3\Rightarrow x\notin Z^{+}$$

Vậy $(x,n,p)=(2,1,5);(1,1,2);(4,2,5)$