Bài đa thức thi Olympic Chuyên KHTN 2014

Bài toán. (Olympic Chuyên KHTN 2014)

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho $$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6\;(1)$$

Lời giải.

Gọi $a_{n}$ là hệ số bậc cao nhất và $n=deg\; P(x)$

Xét hệ số bậc $n+1$ của hai vế ta được 

$$a_{n}.3^{n}=a_{n}.3^{2015}\Rightarrow n=2015$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi  $0$ ta được 

$$(-2).P(2)=6\Rightarrow P(2)=-3$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi  $-1$ ta được $$(-3).P(-1)=-3^{2015}.P(-1)-3^{2016}+3+6\Rightarrow P(-1)=-3$$

Từ đây suy ra $$P(x)=(x-2)(x-1).Q_{1}(x)-3$$

Thế vào $(1)$ ta được $$Q_{1}(3x+2)=3^{2015}.Q_{1}(x)\; (2)$$

Trong $(2)$ thay $x$ bởi $-1$ ta được $$Q_{1}(-1)=0\Rightarrow Q_{1}(x)=(x+1).Q_{2}(x)\Rightarrow P(x)=(x-2)(x+1)^{2}.Q_{2}(x)-3$$

Tiếp tục như vậy và do $n=deg\; P(x)=2015$ nên $$P(x)=c(x-2)(x+1)^{2014}-3,\; \forall x\in R,\; c=const$$