Phương pháp phản chứng trong phương trình hàm

Bài toán 1.
Tìm tất cả các hàm số $f:[1;+\infty )\rightarrow [1;+\infty )$ thỏa $$f\left ( xf\left ( y \right )\right ).f\left ( y \right )=f\left ( x+y \right ),\;\forall y\geq 1\; (1)$$
Lời giải.
Giả sử  $\exists y_{0}:f(y_{0})\neq 1$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $\frac{y_{0}}{f(y_{0})-1}$ và thay $y$ bởi $y_{0}$ ta được $$f\left ( \frac{y_{0}.f(y_{0})}{f(y_{0})-1} \right ).f(y_{0})=f\left ( \frac{y_{0}}{f(y_{0})-1} +y_{0}\right )\Rightarrow f(y_{0})=1$$
Điều này mâu thuẫn với giả sử

Vậy $f(x)=1,\; \forall x\geq 1$


Bài toán 2.
Tìm tất cả các hàm số $f:R\setminus \begin{Bmatrix}
0
\end{Bmatrix}\rightarrow R\setminus \begin{Bmatrix}
0
\end{Bmatrix}$ thỏa $$f(x)+f(y)=f\left ( xy.f(x+y) \right ),\, \forall xy(x+y)\neq 0\; (1)$$
Lời giải.

Giả sử $\exists x_{0}:f(x_{0})\neq \frac{1}{x_{0}}$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $\frac{1}{f(x_{0})}$ và thay $y$ bởi $x_{0}-\frac{1}{f(x_{0})}$ ta được $$f\left ( \frac{1}{f(x_{0})} \right )+f\left ( x_{0}-\frac{1}{f(x_{0})} \right )=f\left ( x_{0} -\frac{1}{f(x_{0})}\right )\Rightarrow f\left ( \frac{1}{f(x_{0})} \right )=0$$
Điều này vô lý.

Vậy $f(x)=\frac{1}{x},\, \forall x\neq 0$