Bài hình học chọn đội tuyển Chuyên Lương Thế Vinh 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển THPT Chuyên Lương Thế Vinh)

Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $\widehat{A}$ là góc tù. $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Đường

trung tuyến $CM$ của $\bigtriangleup ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ngoại tiếp $ABC$ tại $K$

    1) Chứng minh hai tam giác $KAD$ và $KMH$ đồng dạng

    2) Chứng minh $K,H,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải

Câu 1. Ta có: $$\widehat{KMH} =\widehat{KMB}+ \widehat{BMH}=\widehat{KAB} +\widehat{CBA}+\widehat{BMH} $$

Suy ra $$\widehat{KMH} =\widehat{KAB} +180^{0}-\widehat{ABC} =\widehat{KAB} +\widehat{BAD} =\widehat{KAD} \;(1)$$

Lại có: $$\bigtriangleup AKM\sim \bigtriangleup CBM\Rightarrow AK.BM=BC.KM\Rightarrow \frac{AK}{AD}=\frac{MK}{MH}\;(2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\bigtriangleup KAD\sim \bigtriangleup KMH\;(g-c-g)$

Câu 2. Ta có: $$\widehat{ KDC}=\widehat{ADB} -\widehat{ADK} =\widehat{ABC} -\widehat{MHK} =\widehat{MHB} -\widehat{MHK} =\widehat{KHB} $$

Vậy  $K,H,C,D$ đồng viên.