Bài toán. 
Cho dãy số thực $\begin{Bmatrix}
a_{n}
\end{Bmatrix}$ thỏa $$\left\{\begin{matrix}
a_{1}\in (1;2)\\ a_{n+1}=a_{n}+\frac{n}{a_{n}}

\end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một cặp $(a_{i};a_{j})$ với $i\neq j$ sao cho $a_{i}+a_{j}$ là số nguyên.

Lời giải.
Trước hết, chứng minh $a_{n}> n,\,\forall n\in N^{*}\,(1) $

Với $n=1$ ta được $a_{1}\in (1;2)\Rightarrow a_{1}> 1$

Giả sử $(1)$ đúng với $n$. Ta cần chứng minh $a_{n+1}> n+1$

Thật vậy: $$a_{n+1}> n+1\Leftrightarrow a_{n}+\frac{n}{a_{n}}> n+1\Leftrightarrow (a_{n}-1)(a_{n}-n)> 0$$Điều này đúng nên ta được $a_{n}>n$

Đặt $b_{n}=a_{n}-n,\, \forall n\in N^{*}$
$$b_{n+1}=a_{n+1}-(n+1)=(a_{n}-n)+\frac{n}{a_{n}}-1< b_{n}$$Vậy dãy $(b_{n})$ là dãy giảm.

Suy ra $$\forall i,j,i\neq j:0< b_{i}+b_{j}< 2b_{1}< 2$$Kết hợp với dãy $(b_{n})$ giảm, suy ra tồn tại nhiều nhất một cặp $(b_{i};b_{j})$ thỏa $b_{i}+b_{j}\in Z$

Do đó tồn tại nhiều nhất một cặp $(a_{i};a_{j})$ với $i\neq j$ sao cho $a_{i}+a_{j}$ là số nguyên.