Bài bất đẳng thức thi Olympic Chuyên KHTN 2014

 Bài toán. (Olympic Chuyên KHTN 2014)
Cho các số thực không âm $a,b,c,$ thỏa :$$(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$$
Chứng minh rằng : $$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}+\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}+\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$$
Lời giải.
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwar ta được $$\sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}=\sum \frac{\left (\frac{a}{b+2c}  \right )^{2}}{ab(4c+15)}\geq \frac{\left ( \sum \frac{a}{b+2c} \right )^{2}}{12abc+15(ab+bc+ca)}$$
Mà $$\sum \frac{a}{b+2c}=\sum \frac{a^{2}}{ab+2ac}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3(ab+bc+ca)}\geq 1$$
Do đó, ta cần chứng minh $$12abc+15(ab+bc+ca)\leq 3\Rightarrow 4abc+5(ab+bc+ca)\leq 1$$
Lại có: $$1=\prod (a+b+2c)\leq \frac{64}{27}.(a+b+c)^{3}\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{4}$$
Do đó: $$(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1\Rightarrow 2(a+b+c)^{3}+(a+b+c)(ab+bc+ca)+abc=1$$
$$\Rightarrow 1\geq 7(a+b+c)(ab+bc+ca)+abc\geq \frac{21}{4}(ab+bc+ca)+abc\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{4}{21}-\frac{4}{21}abc$$
$$\Rightarrow 4abc+5(ab+bc+ca)\leq 5\left ( \frac{4}{21}-\frac{4}{21}abc \right )+4abc=\frac{64abc}{21}+\frac{20}{21}$$
Suy ra cần chứng minh $$\frac{64abc}{21}+\frac{20}{21}\leq 1\Rightarrow abc\leq \frac{1}{64}\, (*)$$
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được $$1\geq \prod \left ( 4\sqrt[4]{abc^{2}} \right )=64abc\Rightarrow abc\leq \frac{1}{64}$$
Dẫn đến $(*)$ đúng. Vậy ta được $$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}+\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}+\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$