Bài toán.
Tìm tất cả các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa $$f\left ( f(x+y) .f(x-y)\right )=x^{2}-yf(y)\, \forall x,y \,(1)$$
Lời giải.
Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-y$ ta được $$f\left ( f(x-y) .f(x+y)\right )=x^{2}+yf(-y)\;  (2)$$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $$yf(-y)=-yf(y)\Rightarrow f(y)=-f(-y),\,\forall y\neq 0$$
Trong $(1)$ thay $y$ bởi  $0$ ta được $$f\left ( f^{2}(x) \right )=x^{2},\, \forall x\, (*)$$
Trong $(1)$ thay $x$ bởi  $0$ và $y$ khác $0$ ta được $$f\left ( f(y) f(-y)\right )=-yf(y)\Rightarrow f\left ( -f^{2}(y) \right )=-yf(y),\, \forall y\neq0\, (**)$$
Giả sử $\exists y_{0}\neq 0:\, f\left ( y_{0} \right )=0$. Khi đó kết hợp với $(**)$ ta được $f(0)=0$

Trong $(1)$ thay $y$ và $x$ bởi $y_{0}$ ta được $$f\left ( f(2y_{0})f(0) \right )=y_{0}^{2}-y_{0}f\left ( y_{0} \right )\Rightarrow y_{0}\begin{bmatrix}
f\left ( y_{0} \right )-y_{0}
\end{bmatrix}=0\Rightarrow f\left ( y_{0} \right )=y_{0}$$
Điểu này vô lý vì $f\left ( y_{0} \right )=0$. Do đó $\forall y\neq 0:\, f\left ( y \right )\neq 0$

Từ $(**)$ suy ra $$-f\left ( f^{2} (y)\right )=-yf(y)\Rightarrow f\left ( f^{2} (y)\right )=yf(y),\,\forall y\neq0\,(***)$$
Kết hợp $(*)$ và $(***)$ suy ra  $$x^{2}=xf(x),\, \forall x\neq 0\Rightarrow f(x)=x,\, \forall x\neq 0$$
Giả sử $f(0)\neq 0$. Khi đó $$f^{2}(0)\neq 0\Rightarrow f\left (f^{2}(0)  \right )=f^{2}(0)\neq 0$$
Điều này vô lý vì $f\left ( f^{2}(0) \right )=0$ (theo $(*)$)

Do đó $f(0)=0 $

Vậy $f(x)=x,\, \forall x$