Bài dãy số thi Vietnamese Mathematical Olympiad 2011

Bài toán. (VMO 2011)
Cho dãy số nguỵên $(a_{n})$ thỏa $$\left\{\begin{matrix}
a_{0}=1;\, a_{1}=-1\\ a_{n+2}=6a_{n+1}+5a_{n},\, \forall n\in N

\end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $a_{2012}-2010$ chia hết cho $2011$.

Lời giải.
Xét dãy $v_{n}$ được xác định như sau: $$\left\{\begin{matrix}
v_{0}=1;\, v_{1}=-1\\ v_{n+2}=5v_{n+1}+2016v_{n},\, \forall n\in N

\end{matrix}\right.$$
Trước hết, ta chứng minh $a_{n}\equiv v_{n}\;(mod\;2011),\, \forall n\in N\;(1)$

Với $n=0$ ta được $a_{0}\equiv v_{0}\equiv 1\;(mod\;2011)$

Với $n=1$ ta được $a_{1}\equiv v_{1}\equiv -1\;(mod\;2011)$

Giả sử $(1)$ đúng với $\forall i=\overline{0;n}$. Ta cần chứng minh $a_{n+1}\equiv v_{n+1}\;(mod\;2011)$

Thật vậy: $$a_{n+1}\equiv 6a_{n}+5a_{n-1}\equiv 6v_{n}+2016v_{n-1}\equiv v_{n+1}\;(mod\;2011)$$
Vậy  $a_{n}\equiv v_{n}\;(mod\;2011),\, \forall n\in N$

Lại có: $$v_{n+2}=6v_{n+1}+2016v_{n}\Rightarrow v_{n}=a.48^{n}+b.(-42)^{n}$$
Kết hợp với $v_{0}$ và $v_{1}$ ta được hệ $$\left\{\begin{matrix}
v_{0}=a+b=1\\ v_{1}=48a-42b=-1

\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=\frac{41}{90}\\b=\frac{49}{90}

\end{matrix}\right.$$
Do đó $$v_{n}=\frac{41.48^{n}+49.(-42)^{n}}{90}$$
Ta cần chứng minh $$\left ( a_{2012}-2010 \right )\vdots \, 2011\Leftrightarrow \left (  v_{2012}+1\right )\vdots 2011\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
41.48^{2012}+49.(-42)^{2012}+90
\end{bmatrix} \vdots 2011$$
Theo định lý Fermat nhỏ mở rộng ta được $$48^{2011}\equiv 48\, (mod\, 2011),\,42^{2011}\equiv 42\, (mod\, 2011)$$
Suy ra $$ \begin{bmatrix}
41.48^{n}+49.(-42)^{n}+90
\end{bmatrix}\equiv 41.42^{2}+49.42^{2}+90\equiv 0 \, (mod\, 2011)$$
Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn.