Bài số học chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014)

Cho hai số nguyên dương $a,b$ và số nguyên tố  $p$ thỏa $a^{2}+b^{2}$ chia hết cho $p$. Biết rằng $p$

bằng tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng $\frac{a^{2}+b^{2}}{p}$ bằng tổng của hai số chính

phương.

Lời giải.
Theo giả thiết đề bài ta được  $p=c^{2}+d^{2},\, c,d\in Z$

Do đó $$\frac{a^{2}+b^{2}}{p}=\frac{\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( c^{2}+d^{2} \right )}{p^{2}}=\left ( \frac{ac+bd}{p} \right )^{2}+\left ( \frac{ad-bc}{p} \right )^{2}=\left ( \frac{ac-bd}{p} \right )^{2}+\left ( \frac{ad+bc}{p} \right )^{2}$$
Lại có: $$(ac+bd)(ac-bd)=a^{2}c^{2}-b^{2}d^{2}=\left ( a^{2}+b^{2} \right )c^{2}-b^{2}\left ( c^{2}+d^{2} \right )\vdots p$$
Suy ra  $ac+bd\;\vdots \;p$  hoặc  $ac-bd\;\vdots \;p$

* Nếu $ac+bd\;\vdots \;p$ ta được $$ ad-bc\;\vdots \;p\Rightarrow p=\left ( \frac{ac+bd}{p} \right )^{2}+\left ( \frac{ad-bc}{p} \right )^{2}=m^{2}+n^{2},\, m,n\in Z$$
*Nếu $ac-bd\;\vdots \;p$ ta được $$ ad+bc\;\vdots \;p\Rightarrow p=\left ( \frac{ac-bd}{p} \right )^{2}+\left ( \frac{ad+bc}{p} \right )^{2}=m^{2}+n^{2},\, m,n\in Z$$