Bài dãy số chọn đội tuyển Chuyên Lương Thế Vinh 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh)
Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix}
x_{1}=1\\  x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1

\end{matrix}\right.$$
Xét dãy $(y_{n})$ được xác định bởi $$y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}+2}$$
Tìm $lim \, y_{n}$

Lời giải.
Ta có: $$x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{2}+2x_{n}+1=(x_{n}+1)^{2}\geq 0$$
Do đó $(x_{n})$ là dãy tăng.

Giả sử $(x_{n})$ bị chặn trên thì $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn. Đặt $lim\, x_{n}=L$.

Chuyển qua giới hạn ta được: $$L=L^{2}+3L+1\Rightarrow L=-1$$
Điều này vô lý vì $$x_{n}> x_{n-1}> ...> x_{1}=1$$
Do đó $lim\, x_{n}=+\infty $

Lại có: $$x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1\Rightarrow x_{n+1}+1=x_{n}^{2}+3x_{n}+2=(x_{n}+1)(x_{n}+2)$$
$$\Rightarrow \frac{1}{x_{n+1}+1}=\frac{1}{(x_{n}+1)(x_{n}+2)}=\frac{1}{x_{n}+1}-\frac{1}{x_{n}+2}
\Rightarrow \frac{1}{x_{n}+2}=\frac{1}{x_{n}+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$$
$$\Rightarrow y_{n}=\frac{1}{x_{1}+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}
\Rightarrow y_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x_{n+1}+1}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }y_{n}=\frac{1}{2}$$
Vậy $lim \, y_{n}=\frac{1}{2}$

Bài toán mới suy biến của bài toán trên (Toán học Tuổi trẻ)

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi:  $$\left\{ \begin{align}  & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}({{u}_{n}}+1)({{u}_{n}}+2)({{u}_{n}}+3)+1},\forall n\in N*. \\ \end{align} \right.$$
Xét dãy $(x_{n})$ được xác định bởi $$x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{u_{k}+2}$$Tìm $lim \, x_{n}$