Bài số học Diễn đàn Toán học số 2

Bài toán. (Diễn đàn Toán học-VMF)

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố lẻ $(p,q)$ sao cho $q\equiv 3(mod\:8)$ và $\frac{q^{p-1}-1}{p}$ là số chính phương.

Lời giải.
Theo giải thiết bài toán ta có: $$\frac{q^{p-1}-1}{p}=t^2\left ( t\in \mathbb{N} \right )\Leftrightarrow q^{p-1}-1=pt^2$$ Do $p,q$ lẻ nên $t$ chẵn. Suy ra $t=2t_{1}(t_{1}\in \mathbb{N})$. Dẫn đến $$q^{p-1}-1=4pt_{1}^2\Leftrightarrow \left ( q^{\frac{p-1}{2}}+1 \right ) \left ( q^{\frac{p-1}{2}}-1 \right )=4pt_{1}^2$$Do $\left ( q^{\frac{p-1}{2}}+1,q^{\frac{p-1}{2}}-1 \right ) =2$ nên ta suy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1. Nếu $q^{\frac{p-1}{2}}+1=2m^2\:(*)$ và $q^{\frac{p-1}{2}}+1=2pn^2$ thì từ $(*)$ suy ra: $$ 2q^{\frac{p-1}{2}}+2=(2m)^2\Rightarrow \left ( \frac{2}{q} \right )=1$$ Mặt khác ta lại có $$\left ( \frac{2}{q} \right )=(-1)^{\frac{q^2-1}{8}}=-1$$ Dẫn đến điều mâu thuẫn nên loại trường hợp này.

Trường hợp 2. Nếu $q^{\frac{p-1}{2}}+1=2pm^2\:(1)$ và $q^{\frac{p-1}{2}}-1=2n^2\:(2)$ thì từ $(1)(2)$ suy ra $$pm^2-n^2=1 \Rightarrow \left ( \frac{-1}{p} \right )=1\Rightarrow p=4k+1$$ Do đó kết hợp $(2)$ ta được $$\left ( q^{\frac{p-1}{4}}+1 \right )\left ( q^{\frac{p-1}{4}}-1 \right )=2n^2$$ Mà $\left ( q^{\frac{p-1}{4}}+1,q^{\frac{p-1}{4}}-1 \right ) =2$ nên ta xét hai trường hợp nhỏ sau:

    Trường hợp nhỏ 1. Nếu $q^{\frac{p-1}{4}}+1=2u^2 $ và $q^{\frac{p-1}{4}}-1 =4v^2$. Từ đây ta suy ra $$q^{\frac{p-1}{4}}-1 =(2v)^2\Rightarrow \left ( \frac{-1}{q} \right )=1\Rightarrow q\equiv 1(mod\:4)$$Điều này mâu thuẫn với giả thiết bài toán

    Trường hợp nhỏ 2. Nếu $q^{\frac{p-1}{4}}+1=4u^2 $ và $q^{\frac{p-1}{4}}-1 =2v^2$ thì suy ra $$q^{\frac{p-1}{4}}+1=4u^2\Leftrightarrow q^{\frac{p-1}{4}}=(2u+1)(2u-1)$$ Dẫn đến $2u-1=1$ và $q^{\frac{p-1}{4}}=(2u+1)$. Do đó $u=1$ và $p=5,q=3$

Vậy kết quả của bài toán là: $p=5,q=3$