Bài số học chọn đội tuyển VMO Quảng Nam 2017

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Quảng Nam 2017)
Cho số nguyên tố $p$  và các số nguyên dương $a,b,c$  phân biệt nhỏ hơn $p$.  Chứng minh rằng
nếu các số $a^3,b^3,c^3$  có cùng số dư khi chia cho $p$ thì $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho $a+b+c$

Lời giải.
Theo giả thiết ta có $$a^3\equiv b^3\equiv c^3(mod\:p)\Rightarrow \left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a^3-b^3\Rightarrow \left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ Do $a,b$  phân biệt nhỏ hơn $p$ nên $a-b$ không chia hết cho $p$.  Suy ra $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a^2+ab+b^2\:(1)$

Tương tự ta cũng có $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|b^2+bc+c^2\:(2)$ và $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|c^2+ca+a^2\:(3)$.  Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $$\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|(a^2+ab+b^2)-(b^2+bc+c^2)\Rightarrow \left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|(a-c)(a+b+c) $$ Do $a,c$  phân biệt nhỏ hơn $p$  nên $a-c$ không chia hết cho $p$.  Suy ra $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a+b+c$

Theo giả thiết bài toán thì $0<a+b+c<3p$  nên $a+b+c=p$ và $a+b+c=2p$

Mặt khác, từ $(1)(2)(3)$ suy ra $$\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|2(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)\Rightarrow \left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2$$ Mà  $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a+b+c$  và dễ thấy $p>3$ nên  $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a^2+b^2+c^2$

Ta sẽ xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1. Nếu $a+b+c=p$ thì ta có $$\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \left.\begin{matrix}
a+b+c
\end{matrix}\right|a^2+b^2+c^2$$Trường hợp 2. Nếu $a+b+c=2p$. Do $a^2$ và $a$ cùng tính chẵn, lẻ nên $\left.\begin{matrix}
2
\end{matrix}\right|a^2+b^2+c^2$

Do $p>3$ nên $(p,2)=1$ nên $\left.\begin{matrix}
2p
\end{matrix}\right|a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \left.\begin{matrix}
a+b+c
\end{matrix}\right|a^2+b^2+c^2$