Bài số học chọn đội tuyển VMO Quảng Trị 2017

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Quảng Trị 2017)
Cho $p$ là số nguyên tố khác $2$ và $a,b$ là hai số tự nhiên lẻ sao cho $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a+b$ và $\left.\begin{matrix}
p-1
\end{matrix}\right|a-b$.

Chứng minh rằng  $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a^b+b^b$

Lời giải.
* Nếu $b$ chia hết cho $p$ thì $a$ chia hết cho $p$. Dẫn đến điều phải chứng minh.

* Xét trường hợp $b$ không chia hết cho $p$.
Do $a,b$  là hai số tự nhiên lẻ nên $$\left.\begin{matrix}
a+b
\end{matrix}\right|a^b+b^b$$Mà theo giải thiết bài toán ta có $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a+b$  nên suy ra $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a^b+b^b$

Mặt khác, ta lại có $\left.\begin{matrix}
p-1
\end{matrix}\right|a-b\Rightarrow a-b=(p-1)k$ nên $$b^a-b^b=b^b(b^{a-b}-1)=b^b\left [ b^{(p-1)k}-1 \right ]$$ Theo định lý Fermat nhỏ ta được $$b^{p-1}\equiv 1(mod\;p)\Rightarrow \left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|b^{(p-1)k}-1\Rightarrow \left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|b^a-b^b\:(2)$$Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra  $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a^b+b^b$