Bài số học chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2017

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2017)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $$x^{19}-1=(x-1)(y^{12}-1)$$Lời giải.
*  Nếu $x=1$ thì $y\in \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn phương trình.

* Xét $x\neq 1$. Khi đó phương trình trở thành $$y^{12}-1=\frac{x^{19}-1}{x-1}\Leftrightarrow (y-1)(y^{11}+y^{10}+..+y+1)=x^{18}+x^{17}+..+x+1$$ Gọi  $p$  là ước nguyên tố của $x^{18}+x^{17}+..+x+1$.

Gọi  $t$  là cấp của $x$ theo modulo $p$  hay  $t=ord_{p}x$.  Mặt khác ta lại có $$\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|x^{18}+x^{17}+..+x+1\Rightarrow \left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|x^{19}-1\Rightarrow \left.\begin{matrix}
t
\end{matrix}\right|19\Rightarrow t=1;19$$ Trường hợp 1.  Nếu $t=1$ thì $x\equiv 1(mod\:p)$. Khi đó $$x^{18}+x^{17}+..+x+1\equiv 19(mod\;p)$$ Mà  $p$  là ước của $x^{18}+x^{17}+..+x+1$ nên $19\equiv 0(mod\;p)$.  Suy ra $p=19$

Trường hợp 2.  Nếu $t=19$ thì $x^{19}\equiv 1(mod\:p) $.  Suy ra $(x,p)=1$ nên theo định lý Fermat nhỏ ta có $$x^{p-1}\equiv 1(mod\:p) \Rightarrow \left.\begin{matrix}
19
\end{matrix}\right|p-1\Rightarrow p\equiv 1(mod\:19)$$ Vì vậy  $p\equiv 0;1(mod\:19)$ với  $p$  là ước nguyên tố của  $x^{18}+x^{17}+..+x+1$.

Mặt khác,  $y-1$  là ước của  $x^{18}+x^{17}+..+x+1$ nên $$y-1\equiv 0;1(mod\:19)\Leftrightarrow y\equiv 1;2(mod\:19)\Rightarrow y^{11}+y^{10}+..+y+1\equiv 12;10(mod\:19)$$ Ta lại có  $y^{11}+y^{10}+..+y+1$ cũng là ước của $x^{18}+x^{17}+..+x+1$ nên $$ y^{11}+y^{10}+..+y+1\equiv 0;1(mod\:19)$$ Điều này mâu thuẫn. Vậy nghiệm của phương trình là $(x,y)=(1,t)$ với $t\in \mathbb{Z}^{+}$