Bài số học Diễn đàn Toán học số 3

Bài toán. (Diễn đàn Toán học-VMF)
Một số nguyên dương được gọi là 'tốt' nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là số nguyên tố và $n$  là số nguyên dương.
Tìm tất cả các số nguyên dương 'tốt' mà mọi ước nguyên dương của nó cũng 'tốt'.

Lời giải.
Trước hết, ta giải các bài toán phụ sau:

Bài toán phụ số 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$  với $a,b\geq 2$ thỏa mãn $$\left ( 2^a-1 \right )\left ( 2^b-1 \right )=2^c-1$$ Giải. 
Từ phương trình trên ta có: $$\left ( 2^a-1 \right )\left ( 2^b-1 \right )=2^c-1\Leftrightarrow 2^{a+b}-\left ( 2^a +2^b\right )=2^c-2$$ Ta nhận thấy nếu $c\geq 2$ thì VT chia hết cho 4 và VP không chia hết cho 4. Điều này mâu thuẫn, cho nên $c=1$. Suy ra $$\left ( 2^a-1 \right )\left ( 2^b-1 \right )=1\Leftrightarrow 2^a-1=2^b-1=1\Leftrightarrow a=b=1$$ Kết hợp giải thiết suy ra không tồn tại bộ $(a,b,c)$ thỏa mãn yêu cầu.

Bài toán phụ số 2. Tìm tất cả các bộ nguyên dương $(a,b,p,q)$ với $p,q$ là các số nguyên tố lẻ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}
p=2^a-1\:(1)\\
2p=q^b-1\:(2)
\end{matrix}\right.$$ Giải.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $2(2^a-1)=q^b-1\Leftrightarrow 2^{a+1}=q^b+1$

Nếu $b$ chẵn thì $q^b+1\equiv 2(mod\:4)$ mà $2^{a+1}$ chia hết cho 4.  Điều này vô lý nên $b$ lẻ. Dẫn đến$$2^{a+1}=q^b+1=(q+1)\left ( q^{b-1}-...+1 \right )$$ Do $q,b$ lẻ nên $q^{b-1}-...+1$ lẻ dẫn đến $q^{b-1}-...+1=1$. Suy ra $$ 2^{a+1}=q^b+1=q+1\:(*) $$Từ đây ta suy ra $b=1$. Ta xét các trường hợp sau:

* Nếu $q=3$ thì $a=1$ và $p=1$ (vô lý)

* Nếu $q\equiv 1(mod\:3)$ thì $2^{a+1}\equiv 2(mod\:3)$. Suy ra $a+1$ lẻ hay $a$ chẵn nên $\left.\begin{matrix}
3
\end{matrix}\right|2^a-1=p$

Do đó $p=3$, $a=2$ và $q=7$

* Nếu $q\equiv 2(mod\:3)$ thì từ $(*)$ suy ra $\left.\begin{matrix}
3
\end{matrix}\right|2^{a+1}$ (vô lý)

Vậy $(a,b,p,q)=(2,1,3,7)$

Trở lại bài toán chính. Ta chia số nguyên dương 'tốt' $x$ thành hai trường hợp.

* Trường hợp 1. Nếu $x$ lẻ thì $x=p_{1}^{a_1}...p_{k}^{a_{k}}$ trong đó $p_{1},..,p_{k}$ là các số nguyên tố lẻ

Giả sử $a_{1}\geq 2$ hoặc $k\geq 2$ thì $p_{1}=q_{1}^a-1$. Do $p_{1}$ lẻ nên $q_{1}=2$ hay $p_{1}=2^a-1$

Tương tự $p_{2}=2^b-1$ và $p_{1}p_{2}=2^c-1$. Do đó $$\left ( 2^a-1 \right )\left ( 2^b-1 \right )=2^c-1$$ Áp dụng bài toán phụ số 1 ta thấy vô lý. Do đó $x=p_{1}=2^a-1$

Vậy số nguyên dương 'tốt' lẻ là số nguyên tố có dạng $2^{n}-1$

* Trường hợp 2. Nếu $x$ chẵn thì $x=2^{a}p_{1}^{a_1}...p_{k}^{a_{k}}$

Giả sử $a_{1}\geq 2$ hoặc $k\geq 2$ thì $p_{1}=q_{1}^a-1$. Do $p_{1}$ lẻ nên $q_{1}=2$ hay $p_{1}=2^a-1$

Tương tự $p_{2}=2^b-1$ và $p_{1}p_{2}=2^c-1$. Do đó $$\left ( 2^a-1 \right )\left ( 2^b-1 \right )=2^c-1$$ Áp dụng bài toán phụ số 1 ta thấy vô lý. Do đó $x=2^{a}p_{1}$

Dễ nhận thấy nếu $a\geqslant 5$ thì $32$ là ước của $x$ nhưng không thỏa mãn yêu cầu. Nên $a\leq 4$

Kết hợp bài toán phụ số 2 ta có $p_{1}=3$ nên $x$ có thể là $6,12,24,48$

Thử lại thấy thỏa. Vậy số nguyên dương 'tốt' chẵn là $6,12,24,48$