Một bổ đề số học

Bài toán. 
Cho $a,b$ là hai số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố dạng $3k+2$ thỏa mãn $$\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|a^2+ab+b^2$$ Chứng minh rằng $a,b$ chia hết cho $p$

Lời giải.
Giả sử $a$ không chia hết cho $p$ thì $b$ cũng không chia hết cho $p$. Do đó $(b,p)=1$

Theo định lý Bezout thì tồn tại $y\in \mathbb{Z}^{+}$ sao cho $by\equiv 1(mod\:p)$

Suy ra $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|\left ( ay \right )^2+\left ( ay \right )\left ( by \right )+\left ( by \right )^2$ hay $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|x^2+x+1$ với $x=ay$

* Cách 1. Sử dụng số chính phương mod p

Từ $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|x^2+x+1$ suy ra $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|(2x+1)^2+3$ hay $\left ( \frac{-3}{p} \right )=1\:(1)$

Trường hợp 1. Nếu $p\equiv 1(mod\:4)$ thì $\left ( \frac{-1}{p} \right )=1$ hay $\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{3}{p} \right )$

Theo luật tương hỗ Gauss ta có $$\left ( \frac{3}{p} \right ).\left ( \frac{p}{3} \right )=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{3-1}{2}}=1\Rightarrow \left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )$$ Trường hợp 2. Nếu $p\equiv 3(mod\:4)$ thì $\left ( \frac{-1}{p} \right )=-1$ hay $\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{3}{p} \right )$

Theo luật tương hỗ Gauss ta có $$\left ( \frac{3}{p} \right ).\left ( \frac{p}{3} \right )=(-1)^{\frac{p-1}{2}.\frac{3-1}{2}}=-1\Rightarrow \left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )$$ Do đó ta luôn có $\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=-1$ (do $p=3k+2$). Điều này mâu thuẫn với $(1)$ nên điều giả sử là sai.

Vậy $a,b$ chia hết cho $p$

* Cách 2. Sử dụng cấp của một số nguyên
Từ $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|x^2+x+1$ suy ra $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|x^3-1$. Đặt $t=ord_{p}(x)$. Ta sẽ suy ra $\left.\begin{matrix}
t
\end{matrix}\right|3$

Trường hợp 1. Nếu $t=1$ thì $x\equiv 1(mod\:p)$. Suy ra $$0\equiv x^2+x+1\equiv 3(mod\:p)\Rightarrow p=3$$ Điều này vô lý do $p=3k+2$

Trường hợp 2. Nếu $t=3$ thì theo định lý Fermat nhỏ ta có $$x^{p-1}\equiv 1(mod\:p)\Rightarrow \left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|x^{p-1}-1$$Từ đây suy ra $\left.\begin{matrix}
3
\end{matrix}\right|p-1$. Điều này vô lý do $p=3k+2$

Vậy điều giả sử là sai nên $a,b$ chia hết cho $p$