Bài số học Diễn đàn Toán học số 4

Bài toán. (Diễn đàn Toán học-VMF)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $a> 2$ thì tồn tại vô số nguyên dương $n$ thỏa mãn $$\left.\begin{matrix}
n
\end{matrix}\right|a^n-1$$ Lời giải.
Ta sẽ xét hai trường hợp của $a$:

Trường hợp 1. Nếu $a$ lẻ thì chọn $n=2^m$. Khi đó $(a,n)=1$ nên theo định lý Euler ta có $$\left.\begin{matrix}
n
\end{matrix}\right|a^{\varphi (n)}-1=a^{2^{m-1}}-1\Rightarrow \left.\begin{matrix}
n
\end{matrix}\right|a^{2^{m}}-1=a^n-1$$ Do đó tồn tại vô số nguyên dương $n$ thỏa $\left.\begin{matrix}
n
\end{matrix}\right|a^n-1$

Trường hợp 2. Nếu $a$ chẵn thì chọn $a=p^m$ với $p$ là ước nguyên tố của $a-1$.

Khi đó theo định lý LTE ta có: $$v_{p}(a^n-1)=v_{p}(a-1)+v_{p}(n)\geq m+1\Rightarrow \left.\begin{matrix}
n=p^m
\end{matrix}\right|a^n-1$$ Vậy bài toán được chứng minh