TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $\widehat{A}$ là góc tù. $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Đường
trung tuyến $CM$ của $\bigtriangleup ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ngoại tiếp $ABC$ tại $K$
1) Chứng minh hai tam giác $KAD$ và $KMH$ đồng dạng
2) Chứng minh $K,H,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 2. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014)
Cho tam giác $ABC$ có $AB<BC<CA$ và góc $\widehat{ABC}$ là góc nhọn. Biết $(I)$ là đường tròn
tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Biết $(O)$ là đường tròn tâm $O$
ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $AO,AI$ với
đường tròn $(O)$ biết $A$ không trùng với $M$ và $N$. Chứng minh rằng $\widehat{IND}=\widehat{IMO}$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}$ là góc lớn nhất, phân giác trong $AM$. Gọi $P$ là trung điểm
của $AM$.Hai điểm $X,Y$ nằm trên các đoạn thẳng $BP,CP$ sao cho $\widehat{AXC}=\widehat{AYB}=90^{0}$.
Chứng minh rằng $XBYC$ nội tiếp.
Bài 4. Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $P,Q$ là điểm đối xứng với $H$ qua $AB,AC$.
$PQ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $F,E$. Chứng minh rằng $BE,CF$ là đường cao của $\Delta ABC$.
Bài 5. Cho tam giác $ABC$, $B',C'$ là trung điểm $CA,AB$. Gọi $J,K$ là tâm đường tròn
bàng tiếp góc $B,C$. Gọi $P,Q,R,S$ là chân đường cao kẻ từ $A$ đến $KB,KC,JB,JC$.
Chứng minh rằng $P,Q,R,S,B,'C'$ thằng hàng
Bài 6. (Diễn đàn toán học-VMF)
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$. Qua $B$ kẻ đưởng thẳng cắt $(O)$ và $(O')$
lần lượt tại $M,N$. Kẻ đường thẳng song song $AN$ tiếp xúc $(O)$ tại $I$. Từ $I$ kẻ đường thẳng
song song $AM$ cắt $EA$ tại $K$. Chứng minh rằng $IK$ tiếp xúc $(O')$
tiếp tam giác $ACC'$ tiếp xúc $AC,AC'$ tại $B_{1},C_{1}$. Đường tròn nội tiếp tam giác $BCC'$
tiếp xúc $BC,BC'$ tại $A_{2},C_{2}$. Chứng minh rằng $B_{1}C_{1},A_{2}C_{2},CC'$ đồng quy
Bài 8. Cho $P$ là điểm nằm trên đường cao $AD$ của $\Delta ABC$. $Q,R$ là chân đường cao kẻ
từ $P$ đến $AB,AC$. $PQ$ và $PR$ cắt $BC$ tại $S,T$. Hai đường tròn $\left ( BQS \right )$ và $\left ( CRT \right )$ cắt
$QR$ tại $X,Y$. Chứng minh rằng $SX,TY,AD$ đồng quy.
Bài 9. Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA$ tại $D,E$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $Q$ nằm trên đường tròn nội tiếp sao cho $\widehat{AQD}=90^{0}$. Gọi $P$
là điểm nằm trên $AI$ và bên trong $\Delta ABC$ sao cho $MD=MP$. Chứng minh $\widehat{PQE}=90^{0}$
Bài 10. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là giao điểm của $AC$ và
$BD$ và $P$ là điểm trên cạnh $BC$ thỏa $PM$ vuông góc $OM$. Gọi $S$ là giao điểm thứ hai
của $DP$ và $(O)$ và $Q$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $DQ$ vuông góc $MO$. Gọi $R$ là
giao điểm của phân giác $ABS$ và $AQS$. Hai tiếp tuyến tại $B$ và $Q$ của $(O)$ cắt nhau ở $L$.
Chứng minh rằng $A,R,S,L$ thẳng hàng.
Bài 11. (IMO Shortlist 1995)
Cho $\bigtriangleup ABC$ với $(I)$ là đường tròn nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại
$D,E,F$. Điểm $X$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho đường tròn nội tiếp $XBC$ tiếp xúc $BC$
cũng tại $D$ và tiếp xúc $XB,XC$ tại $Y,Z$. Chứng minh rằng $E,F,Y,Z$ đồng viên.
Bài 12. (Việt Nam Team Selection Test 2001)
Cho hai đường tròn $\left ( \omega _{1} \right )$ tâm $O_{1}$ và $\left ( \omega _{2} \right )$ tâm $O_{2}$ cắt nhau tại $A,B$. Các tiếp tuyến tại $A$ và
$B$ của $\left ( \omega _{1} \right )$ cắt nhau ở $K$. Giả sử $M$ là điểm nằm trên $\left ( \omega _{1} \right )$ nhưng không trùng $A$ và $B$.
Đường thẳng $AM$ cắt $\left ( \omega _{2} \right )$ tại $P$, đường thẳng $KM$ cắt $\left ( \omega _{1} \right )$ tại $C$ và $AC$ cắt $\left ( \omega _{1} \right )$ tại $Q$
1) Chứng minh rằng trung điểm $PQ$ thộc đường thẳng $MC$
2) Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn qua điểm cố định khi $M$ di chuyển trên $\left ( \omega _{1} \right )$
$BD$ và $P$ là điểm trên cạnh $BC$ thỏa $PM$ vuông góc $OM$. Gọi $S$ là giao điểm thứ hai
của $DP$ và $(O)$ và $Q$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $DQ$ vuông góc $MO$. Gọi $R$ là
giao điểm của phân giác $ABS$ và $AQS$. Hai tiếp tuyến tại $B$ và $Q$ của $(O)$ cắt nhau ở $L$.
Chứng minh rằng $A,R,S,L$ thẳng hàng.
Bài 11. (IMO Shortlist 1995)
Cho $\bigtriangleup ABC$ với $(I)$ là đường tròn nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại
$D,E,F$. Điểm $X$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho đường tròn nội tiếp $XBC$ tiếp xúc $BC$
cũng tại $D$ và tiếp xúc $XB,XC$ tại $Y,Z$. Chứng minh rằng $E,F,Y,Z$ đồng viên.
Bài 12. (Việt Nam Team Selection Test 2001)
Cho hai đường tròn $\left ( \omega _{1} \right )$ tâm $O_{1}$ và $\left ( \omega _{2} \right )$ tâm $O_{2}$ cắt nhau tại $A,B$. Các tiếp tuyến tại $A$ và
$B$ của $\left ( \omega _{1} \right )$ cắt nhau ở $K$. Giả sử $M$ là điểm nằm trên $\left ( \omega _{1} \right )$ nhưng không trùng $A$ và $B$.
Đường thẳng $AM$ cắt $\left ( \omega _{2} \right )$ tại $P$, đường thẳng $KM$ cắt $\left ( \omega _{1} \right )$ tại $C$ và $AC$ cắt $\left ( \omega _{1} \right )$ tại $Q$
1) Chứng minh rằng trung điểm $PQ$ thộc đường thẳng $MC$
2) Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn qua điểm cố định khi $M$ di chuyển trên $\left ( \omega _{1} \right )$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét