Cho $\bigtriangleup ABC$ với $(I)$ là đường tròn nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại
$D,E,F$. Điểm $X$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho đường tròn nội tiếp $XBC$ tiếp xúc $BC$
cũng tại $D$ và tiếp xúc $XB,XC$ tại $Y,Z$. Chứng minh rằng $E,F,Y,Z$ đồng viên.
Lời giải.
Gọi $S,S'$ lần lượt là giao điểm của $BC$ với $EF$ và $YZ$
Tam giác $ABC$ có $AD,BE,CF$ đồng quy và $S=EF\cap BC$ nên $\left ( SDBC \right )=-1\;\;(1)$
Tương tự $\left ( S'DBC \right )=-1\;\;(2)$. Từ $(1)(2)$ suy ra $$\left ( SDBC \right )=\left ( S'DBC \right )=-1\rightarrow S\equiv S'$$ Do đó $EF,YZ,BC$ đồng quy. Ta lại có $$SD^{2}=SE.SF=SY.SZ$$ Dẫn đến tứ giác $EFYZ$ nội tiếp.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét