Bài toán.  Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là giao điểm của $AC$ và

$BD$ và $P$ là điểm trên cạnh $BC$ thỏa $PM$ vuông góc $OM$. Gọi $S$ là giao điểm thứ hai

của $DP$ và $(O)$ và $Q$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $DQ$ vuông góc $MO$. Gọi $R$ là

giao điểm của phân giác $ABS$ và $AQS$. Hai tiếp tuyến tại $B$ và $Q$ của $(O)$ cắt nhau ở $L$.

Chứng minh rằng $A,R,S,L$ thẳng hàng.

Lời giải.

Bổ đề. Cho tứ giác $ABCD$ điều hòa nội tiếp đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng phân giác

góc $ABC$ và phân giác góc $ADC$ cắt nhau tại một điểm trên $AC$

Chứng minh bổ đề.

Gọi $E$ là giao điểm của phân giác $ABC$ và $AC$. Ta chỉ cần chứng minh $DE$ là phân giác $ADC$.

Ta có $BE$ là  phân giác $ABC$ nên $$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}$$ Suy ra $DE$ là phân giác $ADC$. Vậy chứng minh hoàn thành.


Trở lại bài toán.

Gọi $E=AD\cap MP$. Theo định lý con bướm cho tứ giác $ABCD$ ta được $M$ là trung điểm $PE$

Mà $PE\parallel CD$ nên $ D\left ( FPMC \right )=-1\rightarrow D\left ( ASBQ\right )=-1$

Vậy tứ giác $ABSQ$ điều hòa nên theo bổ đề ta được $A,R,S$ thẳng hàng  $(1)$

Lại do $ABSQ$ là tứ giác điều hòa nên $A,S,L$ thẳng hàng  $(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $A,R,S,L$ thẳng hàng.