Bài toán. Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA$ tại $D,E$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $Q$ nằm trên đường tròn nội tiếp sao cho $\widehat{AQD}=90^{0}$. Gọi $P$

là điểm nằm trên $AI$ và bên trong $\Delta ABC$ sao cho $MD=MP$. Chứng minh $\widehat{PQE}=90^{0}$

Lời giải.

Bổ đề. Cho $\Delta ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $AB,AC$ tại $E,F$. $BI$ cắt $EF$ tại $D$.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,CA$. Chứng minh rằng $D,M,N$ thẳng hàng.

Chứng minh bổ đề.

Ta có $$\widehat{BIC}=90^{0}+\frac{\widehat{A}}{2}=180^{0}-\widehat{AFE}=\widehat{DFC}$$Do đó tứ giác $IDFC$ nội tiếp nên $\widehat{IDC}=\widehat{IFC}=90^{0}$. Từ đây suy ra
$$\widehat{DMC}=2\widehat{DBM}=\widehat{B}=\widehat{NMC}\rightarrow \overline{D,M,N}$$

Trở lại bài toán.

Gọi $K=AQ\cap (O),\,H=AQ\cap BC$. Dễ thấy $I,D,H$ thẳng hàng do đó $H$ là tiếp điểm

của đường tròn bàng tiếp góc $A$ với $BC$ nên $M$ là trung điểm $DH$. Suy ra $DPQH$ nội tiếp

Gọi $P'=AI\cap DE$ nên theo bổ đề trên ta được $$MP'\parallel AC\rightarrow \widehat{P'MD}=\widehat{C}=180^{0}-2\widehat{EDC}=\widehat{PMD}\rightarrow P\equiv P'$$Suy ra $D,P,E$ thẳng hàng, từ đây ta thu được $DI$ là tiếp tuyến của $(DPQH)$. Dẫn đến $$\widehat{KQE}=\widehat{IDE}=\widehat{PQD}\rightarrow \widehat{PQE}=90^{0}$$