Bài toán. Cho $P$ là điểm nằm trên đường cao $AD$ của $\Delta ABC$. $Q,R$ là chân đường cao kẻ

từ $P$ đến $AB,AC$. $PQ$ và $PR$ cắt $BC$ tại $S,T$. Hai đường tròn $\left ( BQS \right )$ và $\left ( CRT \right )$ cắt

$QR$ tại $X,Y$. Chứng minh rằng $SX,TY,AD$ đồng quy.

Lời giải.



Ta có  $\widehat{AQR}=\widehat{APR}=\widehat{ACB}$.  Suy ra tứ giác $QRCB$ nội tiếp, do đó $$AQ.AB=AR.AC\rightarrow \wp_{A/(QBS)}=\wp _{A/(CRT)}$$ Dẫn đến $A$ thuộc trục đẳng phương của $(BQR)$ và $(CRT)$, mà $AD$ vuông góc đường nối

tâm của chúng nên $AD$ là trục đẳng phương của $(BQR)$ và $(CRT)$ $(1)$

Lại có $$\widehat{ YSB}=\widehat{AQR}=\widehat{ACB}\rightarrow SY\parallel AC$$$$\rightarrow \widehat{YST}=\widehat{ACB}=\widehat{XYT}$$ Suy ra tứ giác $XYTS$ nội tiếp. Từ đây lại suy ra

                                      $SX$ là trục đẳng phương $(XYST)$ và $(BQS)$ $(2)$

                                      $TY$ là trục đẳng phương của $(XYST)$ và $(CRT)$ $(3)$

Từ $(1)(2)(3)$  suy ra $SX,TY,AD$ đồng quy