Thứ Sáu, 26 tháng 12, 2014

Bài toán. Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc $AB$  ở  $C'$. Đường tròn nội

tiếp tam giác $ACC'$ tiếp xúc $AC,AC'$ tại $B_{1},C_{1}$. Đường tròn nội tiếp tam giác $BCC'$

tiếp xúc $BC,BC'$ tại $A_{2},C_{2}$. Chứng minh rằng $B_{1}C_{1},A_{2}C_{2},CC'$ đồng quy

Lời giải.



Gọi $D,D'$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $ACC'$ và $BCC'$ lên $CC'$. Ta có $$C'D=\frac{1}{2}\left ( AC'+CC'-AC \right )=\frac{1}{2}\left ( CC'+\frac{1}{2}\left ( AB+AC-BC \right )-AC \right )\;(1)$$$$C'D'=\frac{1}{2}\left ( BC'+CC'-BC \right )=\frac{1}{2}\left ( CC'+\frac{1}{2}\left ( AB+BC-AC \right )-BC \right )\;(2)$$ Từ $(1)(2)$ suy ra $C'D=C'D'\rightarrow D\equiv D'$

Gọi $S=B_{1}C_{1}\cap CC'$ và $S'=A_{2}C_{2}\cap CC'$. Từ đây suy ra $$\left (  CC'DS\right )=\left (  CC'DS'\right )=-1\rightarrow S\equiv S'$$ Dẫn đến $B_{1}C_{1},A_{2}C_{2},CC'$ đồng quy


Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét