Bài toán. (Diễn đàn toán học-VMF)

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$. Qua $B$ kẻ đưởng thẳng cắt $(O)$ và $(O')$ 

lần lượt tại $M,N$. Kẻ đường thẳng song song $AN$ tiếp xúc $(O)$ tại $I$. Từ $I$ kẻ đường thẳng 

song song $AM$ cắt $EA$ tại $K$. Chứng minh rằng $IK$ tiếp xúc $(O')$

Lời giải.

Gọi $K'=EA\cap (O')$ và $X=MN\cap AK'$. Theo định lý Thales ta có $$\frac{EA}{NI}=\frac{AX}{XN}=\frac{AB}{NK'}$$

Ta lại có $$\widehat{BNK'}=\widehat{BAX}\rightarrow \widehat{K'NI}=\widehat{EAB}$$ Do đó $$\Delta NK'I\sim \Delta ABE\rightarrow \widehat{NIK'}=\widehat{AEB}=\widehat{AMB}\rightarrow AM\parallel IK'\;(1)$$ Mà $$\Delta NK'I\sim \Delta ABE\rightarrow \widehat{NK'I}=\widehat{ABE}=\widehat{IEA}\doteq \widehat{NAK'}$$ 

Dẫn đến $IK'$ là tiếp tuyến của $(O')$ $(2)$

Từ $(1)$ suy ra $K\equiv K'$. Kết hợp với $(2)$ ta được $IK$ tiếp xúc $(O')$