Bài bất đẳng thức Mexico National Olympiad 2014

Bài toán. (Chọn đội tuyển Mexico National Olympiad 2014)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^{2}}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt[3]{ab}}\geq \frac{3}{2}$$
Lời giải.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được
$$\frac{a^{2}}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt[3]{ab}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a+b+c+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}}$$
 Mà theo bất đẳng thức AM-GM ta có
$$a+b+1\geq 3\sqrt[3]{ab},\;\;b+c+1\geq 3\sqrt[3]{bc},\;\;c+a+1\geq 3\sqrt[3]{ca}$$$$\rightarrow \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}\leq \frac{2(a+b+c)+3}{3}=3$$Dẫn đến
$$\frac{a^{2}}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt[3]{ab}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a+b+c+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$$
Vậy chứng minh được hoàn thành.

Làm mạnh bất đẳng thức trên:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b=c=3$. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với  mọi $n$:
$$\frac{a^{2}}{a+\sqrt[n]{bc}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt[n]{ca}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt[n]{ab}}\geq \frac{3}{2}$$