Bài bất đẳng thức IMO ShortList 1998

Bài toán. (IMO ShortList 1998)
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng $$\frac{x^{3}}{\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )}+\frac{y^{3}}{\left ( 1+z \right )\left ( 1+x \right )}+\frac{z^{3}}{\left ( 1+x \right )\left ( 1+y \right )}\geq \frac{3}{4}$$
Lời giải.
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có $$\frac{x^{3}}{\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\geq \frac{3x}{4}\;\;(1)$$ Tương tự ta được $$\frac{y^{3}}{\left ( 1+z \right )\left ( 1+x \right )}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+x}{8}\geq \frac{3y}{4}\;\;(2)$$$$\frac{z^{3}}{\left ( 1+x \right )\left ( 1+y \right )}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\geq \frac{3z}{4}\;\;(3)$$
Cộng $(1)(2)(3)$ vế theo vế ta suy ra $$\sum \frac{x^{3}}{\left ( 1+y \right )\left ( 1+z \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( x+y+z \right )-\frac{3}{4}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Làm mạnh bài bất đẳng thức trên:
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng  $$\frac{x^{n}}{\left ( \lambda +y \right )\left ( \lambda+z \right )}+\frac{y^{n}}{\left ( \lambda+z \right )\left ( \lambda+x \right )}+\frac{z^{n}}{\left ( \lambda+x \right )\left ( \lambda+y \right )}\geq \frac{3}{\left ( \lambda+1 \right )^{2}},\;\;n\geq 1,\lambda\geq 1$$