Bài toán.
Cho tam giác $ABC$, $B',C'$ là trung điểm $CA,AB$. Gọi $J,K$ là tâm đường tròn bàng tiếp

góc $B,C$. Gọi $P,Q,R,S$ là chân đường cao kẻ từ $A$ đến $KB,KC,JB,JC$.

Chứng minh rằng $P,Q,R,S,B,'C'$ thằng hàng

Lời giải.

Tam giác $APB$ vuông ở $P$ có $PC'$ là trung tuyến nên $$\widehat{KPC'}=90^{0}+\widehat{APC'}=180^{0}-\widehat{KBA}=\widehat{KBC}\rightarrow PC'\parallel BC$$ Tương tự ta được $SB'\parallel BC$. Dẫn đến $P,S,B',C'$ thẳng hàng 

Lại có tứ giác $AKPQ$ nội tiếp nên $$\widehat{QPK}=180^{0}-\widehat{KAQ}=90^{0}+\widehat{AKQ}=90^{0}+\left ( 180^{0}-\frac{\widehat{C}}{2} -90^{0}-\frac{A}{2}\right )$$$$\rightarrow \widehat{QPK}=180^{0}-\frac{\widehat{B}}{2}=\widehat{KBC}\rightarrow PQ\parallel BC$$

Tương tự ta được $RS\parallel BC$. Từ đây suy ra $6$ điểm $P,Q,R,S,B,'C'$ thằng hàng