Bài đa thức Vietnamese Mathematical Olympiad 2006

Bài toán. (VMO 2006)
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực, thỏa mãn $$P(x^{2})+x\begin{bmatrix}
3P(x)+P(-x)
\end{bmatrix}=\left ( P(x) \right )^{2}+2x^{2},\;\forall x\in R\;\;(1)$$Lời giải.
Bổ đề. Cho đa thức $Q(x)$ với hệ số thực thỏa $$Q(x^{2})=Q^{2}(x),\,\forall x\in R$$ Khi đó $Q(x)=0$  hoặc $Q(x)=1$  hoặc $Q(x)=x^{n}$

Chứng minh.
Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì  $Q(x)\equiv 0$ hoặc  $Q(x)\equiv 1$

Nếu $P(x)$ khác hằng. Đặt $Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Xét hệ số bậc $2n$ ta được $a_{n}^{2}=a_{n}\Rightarrow a_{n}=1$

Xét hệ số bậc $2n-1$ ta được $$2a_{n}a_{n-1}=0\Rightarrow a_{n-1}=0\Rightarrow Q(x)=x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+..+a_{1}x+a_{0}$$ Tương tự ta có $a_{n-2}=a_{n-3}=...=a_{0}=0\Rightarrow Q(x)=x^{n}$

Vậy $Q(x)\equiv 0$ hoặc  $Q(x)\equiv 1$ hoặc $Q(x)=x^{n}$

Trở lại bài toán.
Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-x$ ta được $$P(x^{2})-x\begin{bmatrix}
3P(-x)+P(x)
\end{bmatrix}=\left ( P(-x) \right )^{2}+2x^{2}\;\;(2)$$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $$4x\begin{bmatrix}
P(x)+P(-x)
\end{bmatrix}=\left ( P(x) \right )^{2}-\left (  P(-x)\right )^{2}\Rightarrow \begin{bmatrix}
P(x)+P(-x)
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
P(x)-P(-x)-4x
\end{bmatrix}=0$$ Do $P(x)$ là đa thức nên $P(x)+P(-x)=0$ với $\forall x$ hoặc $P(x)-P(-x)-4x=0$ với $\forall x$

Trường hợp 1. Nếu $P(x)+P(-x)=0\Rightarrow P(-x)=-P(x)$. Thế vào $(1)$ ta được $$P(x^{2})+2xP(x)=\left ( P(x) \right )^{2}+2x^{2}\Rightarrow P(x^{2})-x^{2}=\left ( P(x)-x \right )^{2}$$ Đặt $Q(x)=P(x)-x$. Khi đó $Q(x^{2})=Q^{2}(x)$. Áp dụng bổ đề suy ra

$P(x)=x$ hoặc $P(x)=x+1$ hoặc $P(x)=x^{n}+x$.

Thử lại ta nhận $P(x)=x$ hoặc $P(x)=x^{2k+1}+x$

Trường hợp 2. Nếu $P(x)-P(-x)-4x=0\Rightarrow P(-x)=P(x)-4x$. Khi đó $$P(x^{2})+4x\begin{bmatrix}
P(x)-x
\end{bmatrix}=P^{2}(x)+2x^{2}\Rightarrow P(x^{2})-2x^{2}=\begin{bmatrix}
P(x)-2x
\end{bmatrix}^{2} $$ Đặt $Q(x)=P(x)-2x$. Khi đó $Q(x^{2})=Q^{2}(x)$. Áp dụng bổ đề ta được

$P(x)=2x$ hoặc $P(x)=2x+1$ hoặc $P(x)=x^{n}+2x$.

Thử lại ta nhận $P(x)=2x$ hoặc $P(x)=x^{2k}+2x$