Bài toán. Cho đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{R}\left [ x \right ]$ có bậc dương thỏa $P(x)$ không có nghiệm bội và
$$P(x).P(y)\leq P^{2}\left ( \frac{x+y}{2} \right ),\;x,y\in \mathbb{R}\;\;(1)$$Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm thực.

Lời giải.

Nếu $degP(x)=2k$. Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-x$ ta được
$$P(x).P(-x)\leq P^{2}(0)\;(*)$$ Cho $x\rightarrow +\infty $ thì $P(x).P(-x)\rightarrow +\infty $. Điều này mâu thuẫn với $(*)$.

Do đó bậc của $P(x)$ là số lẻ. Suy ra $P(x)$ có ít nhất một nghiệm thực.

Giả sử $P(x)$ có ít nhất hai nghiệm thực, gọi $x_{1}<x_{2}$ là hai nghiệm lớn nhất của $P(x)$

Không mất tính tổng quát giả sử hệ số bậc cao nhất dương. Khi đó $$\exists a>0:x_{2}-a< x_{1}\wedge P(x_{2}-a)> 0\rightarrow P(x_{2}-a).P(x_{2}+a)> 0\;\;(2)$$ Trong $(1)$ thay $x$ bởi $x_{2}-a$ và $y$ bởi $x_{2}+a$ ta được $$ P(x_{2}-a).P(x_{2}+a)\leq P^{2}\left ( x_{2} \right )=0\;\;(3)$$Từ $(2)(3)$ suy ra mâu thuẫn. Vậy $P(x)$ có đúng một nghiệm thực.