Bài toán. Tìm tất cả các cặp hàm số $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $f$ đơn điệu thực trên $\mathbb{R}$

và $g$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $$f(x+y)=f(x).g(y)+f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;(1)$$Lời giải.
Trong $(1)$ thay $x$ và $y$ bởi $0$ ta được $$f(0)=f(0).g(0)+f(0)\rightarrow f(0).g(0)=0$$ * Nếu $g(0)=0$. Trong $(1)$ thay $y$ bởi $0$ ta được $$f(x)=f(x).g(0)+f(0)\rightarrow f(x)=f(0)=c,\;\forall x\in \mathbb{R}$$ Thử lại ta được $f(x)\equiv c\neq 0,\;g(x)=0,\;\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f(x)=0$ và $g(x)$ bất kì

* Nếu $f(0)=0$. Trong $(1)$ thay $y$ bởi $0$ ta được $$f(x)=f(x).g(0)+f(0)=f(x).g(0)$$ Trường hợp 1. Nếu $g(0)\neq 1$ thì $f(x)=0,\;\forall x\in \mathbb{R}$

Trường hợp 2. Nếu $g(0)=1$. Trong $(1)$ thay $x$ bởi $x$ và $y$ bởi $x$ ta được $$f(x+y)=f(y).g(x)+f(x)$$Kết hợp với $(1)$ và $f$ đơn điệu nên $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$ suy ra $$f(x).g(y)+f(y)=f(y).g(x)+f(x)\rightarrow \frac{g(x)-1}{f(x)}=\frac{g(y)-1}{f(y)}\equiv c\rightarrow f(x)=\frac{g(x)-1}{c}$$ Thay vào $(1)$ ta được $$\frac{g(x+y)-1}{c}=\frac{g(y)\left ( g(x)-1 \right )}{c}+\frac{g(x)-1}{c}\Leftrightarrow g(x+y)=g(x).g(y)$$ Mà $g(x)$ liên tục nên $$g(x)=a^{x},\;\forall x\in \mathbb{R}$$ Từ đây tiếp tục có $$f(x)=\frac{a^{x}-1}{c},\;\forall x\in \mathbb{R}$$