Bài hình học chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014)

Cho tam giác $ABC$ có $AB<BC<CA$ và góc $\widehat{ABC}$ là góc nhọn. Biết $(I)$ là đường tròn

tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Biết $(O)$ là đường tròn tâm $O$

ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $AO,AI$ với

đường tròn $(O)$ biết $A$ không trùng với $M$ và $N$. Chứng minh rằng $\widehat{IND}=\widehat{IMO}$

Lời giải.

Gọi $E$ là tiếp điểm của $(I)$ và cạnh $AB$

Ta có: $$\widehat{NID}=\widehat{ABC}-\widehat{AIE}=\widehat{ABC}-\left ( 90^{0}-\frac{\widehat{A}}{2} \right )=\widehat{B}+\frac{\widehat{A}}{2}-90^{0}$$$$\widehat{MAN}=90^{0}-\widehat{AMN}=90^{0}-\widehat{C}-\frac{\widehat{A}}{2}=90^{0}-\left ( 180^{0}-\widehat{B}-\widehat{A} \right )-\frac{\widehat{A}}{2}=\widehat{B}+\frac{\widehat{A}}{2}-90^{0}$$
Suy ra  $\widehat{NID}=\widehat{MAN}$

Do dự đoán $\Delta NID\sim \Delta MAI$ nên cần chứng minh $$\frac{ID}{IN}=\frac{IA}{AM}$$$$\Leftrightarrow \frac{ID}{IN}=\frac{IA}{AM}\Leftrightarrow \frac{IE}{IA}=\frac{IN}{AM}\Leftrightarrow sin\frac{A}{2}=\frac{NB}{2R}\Leftrightarrow \frac{NB}{sin\frac{A}{2}}=2R$$
Điều này đúng do định lý hàm Sin cho tam giác $ANB$

Vậy $\Delta NID\sim \Delta MAI\Rightarrow \widehat{NID}=\widehat{IMO}$