Bài dãy số chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2015)
Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=3u_n-\sqrt{u_n^2+1},n=1,2,3... \end{matrix}\right.$$
Tính $$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim} \frac{2u_{n+1}^2+3u_n^2}{u_{n+1}^2+2u_{n-1}}.$$
Lời giải.
Ta có $$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim} \frac{2u_{n+1}^2+3u_n^2}{u_{n+1}^2+2u_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2+3\left ( \frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right )^{2}}{1+\frac{2u_{n-1}}{u_{n+1}^{2}}}$$
Ta sẽ chứng minh $u_{n}> \frac{\sqrt{3}}{3},\, \forall n\geq 2\,(1)$

Với $n=2$ ta được $u_{2}=3u_{1}-2\sqrt{u_{1}^{2}+1}=3-2\sqrt{2}> \frac{\sqrt{3}}{3}$

Giả sử $(1)$ đúng với $\forall i=\overline{1,n}$. Ta cần chứng minh $u_{n+1}> \frac{\sqrt{3}}{3}$

Thật vậy $$u_{n+1}> \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow 3u_{n}-\sqrt{u_{n}^{2}+1}> \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow \left ( 3u_{n}-\frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{2}> u_{n}^{2}+1\Leftrightarrow \left ( u_{n}-\frac{\sqrt{3}}{3} \right )\left ( 8u_{n}+\frac{2}{\sqrt{3}} \right )> 0$$
Điều này đúng.

Ta chứng minh dãy $(u_{n})$ là dãy tăng.

Thật vậy $$u_{n+1}-u_{n}=2u_{n}-\sqrt{u_{n}^{2}+1}> 0\Leftrightarrow 3u_{n}^{2}>1$$
Vậy dãy $(u_{n})$  là dãy tăng.

Nếu dãy $(u_{n})$ bị chặn trên thì theo định lý Weierstrass, dãy $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn

Đặt $\lim\,u_{n}=L$. Chuyển qua giới hạn ta được $$L=3L-\sqrt{L^{2}+1}\Rightarrow L=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Điều này vô lý vì $...>x_{n}>x_{n-1}>...>x_{2}>\frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy $lim\,u_{n}=+\infty $

Theo giả thiết ta có $$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=3-\sqrt{1+\frac{1}{u_{n}^{2}}}< 2\Rightarrow \frac{u_{n}}{u_{n+1}}> \frac{1}{2}$$
Lại có $$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}.\frac{u_{n+1}}{u_{n+2}}=\frac{3-\sqrt{1+\frac{1}{u_{n}^{2}}}}{3-\sqrt{1+\frac{1}{u_{n+1}^{2}}}}< 1\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n+2}}< \frac{u_{n}}{u_{n+1}}$$
Đặt $v_{n}=\frac{u_{n}}{u_{n+1}}$. Khi đó dãy $(v_{n})$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $\frac{1}{2}$ nên hội tụ.

Đặt $lim\, v_{n}=L\Rightarrow\,L>\frac{1}{2}$

Do$$\left ( u_{n+1}-3u_{n} \right )^{2}=u_{n}^{2}+1\Rightarrow 8\left ( \frac{u_{n}}{u_{n+1}} \right )^{2}-6.\frac{u_{n}}{u_{n+1}}+1=\frac{1}{u_{n+1}^{2}}$$ nên chuyển qua giới hạn ta được $$8L^{2}-6L-1=0\Rightarrow L=\frac{1}{2}$$Suy ra $$lim\, \frac{2u_{n+1}^{2}+3u_{n}^{2}}{1+2u_{n-1}}=\frac{2+3.\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}}{1}=\frac{11}{4}$$