Bài dãy số chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014)
Cho dãy số $a_{n}$ được xác định bởi $$\left\{\begin{matrix}
a_{1}=2,a_{2}=1\\a_{n+2}=\frac{a_{n}.a_{n+1}}{2a_{n}+a_{n+1}} ,\, \forall n\in N^{*}

\end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng dãy số $(a_{n})$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty $. Hãy tìm $$\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}$$
Lời giải.
Trước hết chứng minh $a_{n}> 0,\, \forall n\in N^{*}\: (1)$

Với $n=1$ ta được $a_{1}=2>0$

Với $n=2$ ta được $a_{2}=1>0$

Giả sử $(1)$ đúng với $\forall i=\overline{1,n}$. Ta cần chứng minh $a_{n+1}>0$

Thật vậy $$a_{n+2}=\frac{a_{n}.a_{n+1}}{2a_{n}+a_{n+1}}> 0$$
Theo giả thiết đề bài ta được $$\frac{1}{a_{n+2}}=\frac{2a_{n}+a_{n+1}}{a_{n}.a_{n+1}}=\frac{2}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n}}> \frac{1}{a_{n+1}}\Rightarrow a_{n+2}<a_{n+1}$$
Vậy dãy $(a_{n})$ là dãy giảm mà bị chặn dưới bởi $0$ nên theo định lý Weierstrass, dãy $(a_{n})$ có

giới hạn hữu hạn. Đặt $$\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=L$$Chuyển qua giới hạn ta được $$L=\frac{L^{2}}{3L}\Rightarrow L=0$$Vậy $$\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$$