Bài PTH chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014)
Tìm tất cả các hàm số $f:N\rightarrow N$ thỏa $$\left\{\begin{matrix}
f(4)=4\,(1)\\ f(2m)=2f(m),\,\forall m\equiv 1(mod\,2)\,(2)
\\ f(m)< f(n);\, \forall m,n\in N:m<n\,(3)

\end{matrix}\right.$$
Lời giải.
Ta sẽ chứng minh bài toán này bằng phương pháp quy nạp.

Theo giả thiết đề bài ta có $$0\leq f(0)<f(1)<...<f(4)=4$$Kết hợp với $(3)$ suy ra $f(n)=n,\,\forall n=\overline{0,4}$

Giả sử $f(i)=i,\, \forall i=\overline{0,n}$. Ta cần chứng minh $f(n+1)=n+1$

* Trường hợp 1.  Nếu $n=4k$ thì theo $(2)$ ta đươc $$f(n+2)=f(4k+2)=2f(2k+1)=2f\left ( \frac{n}{2}+1 \right )=n+2$$Kết hợp với $(3)$ ta được $$n=f(n)<f(n+1)<f(n+2)=n+2\Rightarrow f(n+1)=n+1$$
* Trường hợp 2.  Nếu $n=4k+1$ thì theo (2) ta được $$f(n+1)=f(4k+2)=2f(2k+1)=2f\left ( \frac{n+1}{2} \right )=n+1$$
* Trường hợp 3.  Nếu $n=4k+2$ thì theo $(2)$ ta được $$f(n+4)=f(4k+6)=f\left ( 2(2k+3) \right )=2f(2k+3)=4k+6=n+4$$Kết hợp với $(3)$ ta suy ra $$n=f(n)<f(n+1)<...<f(n+4)=n+4\Rightarrow f(n+1)=n+1$$
* Trường hợp 4.  Nếu $n=4k+3$ thì theo $(2)$ ta có $$f(n+3)=f(4k+6)=2f(2k+3)=4k+6=n+3$$Kết hợp với $(3)$ ta suy ra $$n=f(n)<f(n+1)<f(n+2)<f(n+3)=n+3\Rightarrow f(n+1)=n+1$$Do đó $f(n+1)=n+1$

Vậy $f(n)=n,\,\forall n\in N$