Bài bất đẳng thức thi Olympic Gặp gỡ Toán học lớp 11 năm 2014

Bài toán.  (Olympic Gặp gỡ Toán học 2014)
Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=\frac{27}{2}$$Chứng minh rằng $$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}\leq 2$$
Lời giải.
Do vai trò $x,y,z$ như nhau nên giả sử $z=min\begin{Bmatrix}
x,y,z
\end{Bmatrix}\Rightarrow x+y\geq 2z$

Đặt $a=\frac{x}{z};b=\frac{y}{z}(a,b>0)$

Do $$(x+y+z)\begin{pmatrix}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}
\end{pmatrix}=\frac{27}{2}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
\frac{x+y}{z}+1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1
\end{pmatrix}=\frac{27}{2}$$ nên $$(a+b+1)\begin{pmatrix}
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1
\end{pmatrix}=\frac{27}{2}$$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
a+b=S\\ab=P

\end{matrix}\right.$. Khi đó ta được $$ (S+1)\begin{pmatrix}
\frac{S}{P}+1
\end{pmatrix}=\frac{27}{2}\Rightarrow P=\frac{2(S^{2}+S)}{5-2S}$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$$S^{2}-2P+1\leq 2(S+P)\Leftrightarrow (S-1)^{2}\leq 4P\Leftrightarrow (S-1)^{2}\leq \frac{8(S^{2}+S)}{25-2S}$$$$\Leftrightarrow (2S-1)(S-5)^{2}\geq 0$$ Điều này đúng do $x+y\geq 2z$

Vậy $$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}\leq 2$$