Bài số học THTT số 448

Bài toán. (THTT số $448$)
Gọi $\begin{bmatrix}
x
\end{bmatrix}$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$,  $\begin{Bmatrix}
x
\end{Bmatrix}=x-\begin{bmatrix}
x
\end{bmatrix}$ là phần lẻ của $x$.

Hãy tìm $$\begin{Bmatrix}
\frac{p^{2012}+q^{2016}}{120}
\end{Bmatrix}$$ biết rằng $p,q$ là các số nguyên tố lớn hơn $5$

Lời giải.
Do $p,q$ là các số nguyên tố lớn hơn $5$ nên $p,q$ lẻ. Suy ra $$p^{2}\equiv q^{2}\equiv 1\left ( mod\;8 \right )\Rightarrow p^{2012}\equiv q^{2016}\equiv 1\left ( mod\;8  \right )\Rightarrow p^{2012}+q^{2016}\equiv 2\left ( mod\;8 \right )$$Theo định lý Fermat (do $(p,3)=(q,3)=1$) ta được $$p^{2}\equiv q^{2}\equiv 1\left ( mod\;3 \right )\Rightarrow p^{2012}\equiv q^{2016}\equiv 1\left ( mod\;3 \right )\Rightarrow p^{2012}+q^{2016}\equiv 2\left ( mod\;3 \right )$$Theo định lý Fermat (do $(p,5)=(q,5)=1$) ta được $$p^{4}\equiv q^{4}\equiv 1\left ( mod\;5 \right )\Rightarrow p^{2012}\equiv q^{2016}\equiv 1\left ( mod\;5 \right )\Rightarrow p^{2012}+q^{2016}\equiv 2\left ( mod\;5 \right )$$ Do $(3,5,8)=1$ nên $$ p^{2012}+q^{2016}\equiv 2\left ( mod\;120 \right )\Rightarrow p^{2012}+q^{2016}=120k+2\;(k\in Z)$$ Suy ra $$ \begin{Bmatrix}
\frac{p^{2012}+q^{2016}}{120}
\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}
\frac{120k+2}{120}
\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}
\frac{2}{120}
\end{Bmatrix}$$